Решебник уравнений

1. Схема Горнера (деление уголком)

Одним из способов решения УВС является способ разложения на множители многочлена в левой части. Так как, если известен хотя бы один корень уравнения, то с помощью схемы Горнера можно разложить многочлен на множители и понизить степень уравнения.

	Все коэффициенты данного многочлена.
	Старший + + +
Корень Х = А	Старший   * * * R- остаток А А А

Значит, основная задача - задача нахождения корня (подбором)!

Для этого применяем теоремы алгебры многочленов:

Теорема 1: Пусть несократимая дробь является корнем уравнения:

А_пХ^п + А_п-1Х^п-1 + … + А₁Х + А₀ = 0 с целыми коэффициентами, тогда число «р» является делителем свободного члена «А₀», а число «с» - делителем старшего коэффициента «А_п».

Формулы Виета:

, где - корни этого уравнения.

Следствие 1: Любой целый корень уравнения с целым коэффициентом является делителем свободного члена (А₀).

Следствие 2: Если старший коэффициент УВС равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они есть, – целые.

Следствие 3: Если сумма коэффициентов равна 0, то один из корней уравнения равен 1.

Следствие 4: Если сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней этого уравнения равен -1.

Пример 1:

,

равно ±1, , тогда при х = 1:

2 – 5 – 1 + 3 + 1 = 0 => х = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

Имеем:

(х -1)=0 или ,

х = 1 равно ±1, , тогда при х = -0,5:

-0,25 - 0,75 + 2 – 1 = 0 => х = -0,5 - корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

Имеем: ,

х = 1 или х = -0,5 или

Ответ: х = 1, х = - 0,5, .

Если старший член многочлена равен 1:

Поиск по сайту: