Интегрирование:

Заменой = Z исходное уравнение (11.46) преобразуем к виду F (x, z, ) = 0.

Пример

11.27. Найти общее решение ДУ x + + x = 0.

Решение. Полагаем = z, тогда = z’, данное ДУ преобразуется к виду

xz’+ z + x = 0. – линейное относительно Z, интегрируя его, получим:

zx = С1 - , возвращаясь к переменной y, имеем ДУ с разделяющимися переменными

x= С1 - , или

y = C1 - общее решение исходного ДУ.

3) F (y, , = 0 (11.47)

Интегрирование:

Замена = z, тогда = z ;ДУ (2.7) приводится к виду:

F (y, z, z ) = 0 (11.48)

Пример

11.28. Н айти частное решение ДУ

y – ()² = , (11.49)

при начальных условиях y=1, =0 при x = 0.

Решение. Пусть = z(y), z , ДУ (2.9) преобразуется к виду

yz – z² = ДУ Бернулли относительно z. Интегрируем его, получаем:

z = (11.50)

Используя начальные условия y’= z = 0 при y = 1, найдем С1 = -1.

Следовательно,

z = , или = ,

Интегрируем последнее ДУ, получаем:

a rccos .

Вновь используем начальные условия: y=1 при х=0, находим С2 = 0, тогда

= cos x,

y = - частное решение ДУ (2.9)

4) F (x, y, , ) = 0 (11.51)

однородное относительно y, ,

Интегрирование: Замена / y = z.

Пример

11.29. РешитьДУ

3()² = 4 y + y² (2.12)

Решение. Разделить обе части ДУ (2.12) на y² 0

.

Полагаем, / y = z, тогда , или . В результате получаем

уравнение: 3z - 4 =1+z²

ДУ с разделяющимися переменными, разделяем переменные, . Интегрируем последнее ДУ: arctg z = C1 - x, или z = tg(C1 - ), или

/ y = tg(C1 - ). – общее решение исходного ДУ

Вновь интегрируем полученное ДУ:

ln y = 4ln cos(C1 - ) + ln C2, или y = C2 cos (C1 - ).

Поиск по сайту: