Примеры

11.50. Найти общее решение ЛНДУ(11.69)

– 3 + 2y = . (11.69)

Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ(11.69)

– 3 + 2y = 0. (11.70)

Характеристическое уравнение:

λ² - 3λ + 2 = 0.

Дискриминант: D=3² - 4 2 =1>0. Корни характеристического уравнения λ1= 1; λ2 = 2.

Частные решения: y1(x) = и y2(x) =

Общее решение:

y = C1 + C2 . (11.71)

Общее решение ЛНДУ (11.69) находим в виде (11.711), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть

y = C1(x) + C2(x) . (11.72)

Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяем из системы:

откуда C1’= -1, C2’ = . Интегрируем полученные ДУ относительно неизвестных функциях C1(x) и C2(x), получаем:

C1 = - х + C3; C2 = - + C4, (11.73)

где C3 и C4 - произвольные постоянные.

Подставляем (11.73) в (11.72):

y=(-х + C3) + (- + C4) , или

y= C3 + C4 + (- x -1) - общее решение ЛНДУ (11.69).

11.51. Найти общее решение ЛНДУ:

– 2 + y = x . (11.74)

Решение. Рассмотрим ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ (2.34):

– 2 + y = 0. (11.75)

Характеристическое уравнение:

λ² - 2λ + 1 = 0.

Дискриминант D=0. Корни: λ1= λ2=1.

Частные решения: y1 = ; y2 = x .

Общее решение ЛОДУ (2.35):

y=(C1+ xC2) . (11.76)

Общее решение ЛНДУ (11.74) находим в виде (11.76), но полагаем C1 =C1(x); C2 = C2(x), то есть:

y = (C1(x) + xC2(x)) . (11.77)

Неизвестные функции C1(x) и C2(x) находим из системы:

C1(x)= - + C3; C2(x) = + C4, (11.78)

Функции (11.78) подставим в (11.77):

y=(( + C4)x + (- + C3)) , или

y= - (11.79)

общее решение ЛНДУ (2.34).

2 способ.

Структура общего решения ЛНДУ (11.65):

y = y0 + Y, (11.80)

где Y – общее решение соответствующего (11.65) ЛОДУ (11.53), y0 – частное решение (11.65), зависящее от вида функции f(x).

Частное решение y0 находим по виду правой части (11.65) методом неопределенных коэффициентов:

1) f(x) = , где - многочлен степени n;

а) если a не является корнем характеристического уравнения, то y₀= , где - многочлен степени n c неопределенными коэффициентами;

б) если a – корень характеристического уравнения, кратности r (r =1 или r =2), то y₀= ;

2) f(x) = ,

а) если не является корнем характеристического уравнения, то y₀= , где и - многочлены степени N=max с неопределенными коэффициентами,

б) если - корни характеристического уравнения, то

y₀= ,

3) f(x) = f₁(x) + f₂(x) + …+ fk(x), - частные решения уравнений + p + qy = (x), тогда - решение ЛНДУ с правой частью .

Поиск по сайту: