Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

+ p + qy = 0, (11.53)

где p и q- действительные числа.

Можно доказать, что если y1(x) и y2(x) – линейно независимые*) частные решения ЛОДУ (2.13), то общее решение этого уравнения является их линейной комбинацией

y = C1y1(x) + C2y2(x), (11.54)

где С1 и С2 – произвольные постоянные числа.

Частные решения можно найти в виде y = (метод Эйлера), где λ – действительное число.

Подставим y = , y’ = λ и = λ² в ЛОДУ (11.53), сократим , получим

λ² + pλ + q = 0 - (11.55)

характеристическое уравнение ЛОДУ (11.53).

Частные решения зависят от вида корней уравнения (11.53)

1) Если D = p² - 4q>0, то (11.55) имеет два действительных различных корня λ1 λ2, им соответствуют частные решения

y1(x) = и y2(x) = (11.56)

Можно доказать, что функции(11.56) линейно независимы, тогда общее решение ЛОДУ (11.53) имеет вид

y = C1 + C2 (11.57)

2) Если D = 0, то λ1=λ2 = λ, с качестве частных решений принимают линейно независимые функции

y1(x) = и y2(x)= x , (11.58)

Общее решение:

y = C1 + C2 , или

y = (C1+ C2x) (11.59)

3) Если D<0, то корни характеристического уравнения (11.55) комплексно- сопряженные

λ1,2 = , где

Линейно независимые частные решения:

y1(x) = sin βx; y2(x)= cos βx. (11.60)

Общее решение:

y = (C1sin βx + C2cos βx). (11.61)

Поиск по сайту: