Упражнения. Решить дифференциальные уравнения:

Решить дифференциальные уравнения:

11.1 y’= ; 11.2 y’= ;

11.3 y’= - ; 11.4 xy’-y=x²;

11.5 xyy’=1-x²; 11.6 y’ tgx=y;

Однородные дифференциальные уравнения

Однородной функцией измерения n называется функция f (x;y), такая, что

f (λx; λy)= λⁿ f (x;y), где λ € R.

Уравнение вида

P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (11.5)

называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y)- однородные функции одного измерения, или ДУ вида:

= f (x;y) (11.6)

называется однородным, если f (x;y) – однородная функция нулевого измерения

Однородное ДУ может быть приведено к виду = φ (y/x). С помощью подстановки у = tx однородное уравнение приводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Пример

Найти общие интегралы ДУ

11.7 =

Решение Функция f (x;y)= является однородной функцией нулевого измерения. Действительно, f (λx; λy)= = - = - = f (x;y).

Замена переменных: у=tx y’=t’x+t x’ y’ = t’x+t

Выражения у и у’ через t и х подставляем в исходное уравнение, получаем

t’x + t = , или t’x= -t -1 – t; t’x= -1-2t –

ДУ с разделяющими переменными; разделяя их, имеем

, где t’ = ,

Интегрируем последнее ДУ:

, , ,

перенесли ln C в левую часть, использовали свойства логарифмов. Далее:

; или ;

Возвращаемся к переменной у

;

- общий интеграл однородного уравнения.

Поиск по сайту: