Примеры. Решение Составляем характеристическое уравнение:

Найти общее решение ЛОДУ

11.40 – 5 + 6y = 0

Решение Составляем характеристическое уравнение:

λ² - 5λ + 6 = 0

Его дискриминант D>0, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня λ1 = 2; λ2=3, им соответствуют линейно независимые частные решения (2.16)

y1(x) = и y2(x) =

и общее решение (2.17)

y = C1 + C2

11.41 - 4 + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение λ² - 4λ + 4 = 0 имеет дискриминант D = 0 и два равных действительных корня λ1 = λ2=2; линейно независимые частные решения:

y1(x) = и y2(x)= x .

Oбщее решение:

y = (C1+ C2x).

11.42. + + y = 0

Решение. Характеристическое уравнение

λ² + λ + 1 = 0.

Дискриминант D<0. Корни:

λ1,2 = ;

линейно независимые частные решения:

y1(x) = sin x; y2(x)= cos x.

Общее решение:

y = (C1sin x + C2cos x)

11.43. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

y=1, =1, при х = 0,

- 2 + 2y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение:

λ² - 2λ + 2 = 0

Дискриминант D = 4-8 = - 4<0. Корни характеристического уравнения:

λ1,2 = ;

Линейно независимые частные решения:

y1(x) = sin x; y2(x)= cosx.

Общее решение:

y = (C1sin x + C2cos x) (11.62)

Производная общего решения:

= ((C1-C2)sin x + (C1-C2) cosx) (11.63)

Подставляем начальные условия y=1, =1, при х = 0 в (11.62) и (11.63), получаем систему линейных уравнений относительно C1 и C2:

или откуда

С1=0, С2=1. (11.64)

Значения (11.64) произвольных постоянных подставляем в общее решение (11.62):

= (0sin x + 1cos x), или

y = cosx –

частное решение исходного ЛОДУ, удовлетворяющее начальным условиям.

Поиск по сайту: