Примеры

11.52. Найти общее решение ЛНДУ:

- 2 + y =x (11.81)

Решение Общее решение ЛНДУ (11.81) находим в виде:

y = + Y, (11.82)

где - частное решение (11.81), Y - общее решение ЛОДУ

- 2 + y = 0. (11.83)

Имеем:

Y =(C1+ xC2) . (11.84)

Частные решения находим по виду правой части f(x) = x : в показателе степени коэффициент при x (a =1) является корнем характеристического уравнения кратности r=2, многочлен = (x), n=1, тогда частное решение будем находить в виде

= (11.85)

Неопределенные коэффициенты A и В определяются в результате подстановки (11.85) в (11.81).

Производные:

; (11.86)

; (11.87)

После подстановки (11.85) - (11.87) в (11.81) имеем

; (11.88)

Сокращаем на и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения (11.88), получаем систему линейных уравнений относительно А и В:

x: 2(3A + 2B) – 4B = 1;

2B = 0;

откуда В = 0; А = (11.89)

Подставляем (11.89) в (11.85):

- (11.90)

Частное решение ЛНДУ (11.81).

Общее решение ЛНДУ (11.81) с учетом формулы (22.82) и решений (11.84) и (11.90) принимает вид

(11.91)

Сравниваем (11.91) и (11.79).

Общие решения, найденные предыдущими способами, совпадают.

11.53. Проинтегрировать уравнение при начальных условиях y=1, , при х = 0

(11.92)

Решение Общее решение ЛНДУ (2.52) находим в виде

y = + Y, (11.93)

где 1) Y – общее решение ЛОДУ

+ - 2 y =0; (11.94)

характеристическое уравнение

λ² +λ -2 = 0,

D = 1+8=9>0; корни: ; тогда

(11.95)

2) - частное решение ЛНДУ (11.92)- находим по виду правой части

f(x)= (11.96)

- в(11.96) отсутствует, поэтому а =0; коэффициенты при x в (11.96) b=1; не являются корнями характеристического уравнения; перед косинусом и синусом в (11.96) –численные коэффициенты (многочлены нулевой степени), тогда частное решение находим в виде

= A cos x + B sin x, (11.97)

где А и В – неопределенные коэффициенты;

дифференцируем (11.97):

= - А sin x + B cos x, (11.98)

= - А cos x - B sin x (11.99)

Выражение (11.97) - (11.99) подставляем в (11.92), получаем

;

приравниваем коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях:

откуда А=0, В=1.

Таким образом, частное решение (11.97) имеет вид

= sin x. (11.100)

Подставляем (11.95) и (11.100) в (11.93), получаем общее решение ЛНДУ

(11.101)

Находим далее частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Дифференцируем (11.101):

(11.102)

Подставляем y=1; =2; x=0 в (2.61) и (2.62):

или

откуда частное решение находим, подставляя полученные значения произвольных постоянных в (11.101):

-

частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Поиск по сайту: