Примеры. Решение. 1 способ (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной)

Найти общее решение ЛНДУ

11.12 (11.11)

Решение. 1 способ (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной)

Интегрируем сначала соответствующие (1.9) ЛОДУ

(11.12)

ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем их:

;

Интегрируем:

, откуда

у=Сх (11.13)

- общее решение ЛОДУ (11.12). Общей интеграл ЛНДУ (11.11) находим в виде (11.13), но полагая С=С(х) – неизвестная функция от х, то есть:

у = С(х)х (11.14)

Найдем С(х).

Дифференцируем

= x + C ;

= x + C; (11.15)

Подставляем (11.14) и (11.15) в (11.11).

x + C - = x, (11.16)

откуда x = x, или = 1, тогда

интегрируем, , получаем

С(х) = х + С1, (11.17)

где С1 – произвольная постоянная.

Подставляем (11.17) в (11.14)

у = (х + С1) х - общее решение ЛНДУ (11.11)

2 способ (метод Бернулли: находим у в виде произведения двух функций).

Итак, пусть

y= u(x)v(x) (11.19)

В дальнейшем аргумент х опускаем. Находим производную:

= v+u (11.20)

Выражения (11.19) и (11.20) подставляем в (11.11)

v+u - = х,

группируем члены, выносим общий множитель за скобки:

v+u( - )= х (11.21)

Неизвестную функцию v(x) находим из условия

- = 0 – ДУ с разделяющимися переменными; интегрируем его:

; ; ; , полагаем С = 0,

тогда

v(x) = x (11.22)

Найденную функцию v(x) в виде (11.20) подставляем в (1.21), учитывая х 0

x = x = 1 u(x) = x + С1 (11.23)

Итак, функции u(x) и v(x) найдены, подставляем их выражения (11.22)и (11.23)в (11.19),

Получаем неизвестную функцию

y(x) = (x + С1) x (11.24)

- общее решение ЛНДУ (11.11). Сравниваем (11.24)и (11.16)

Поиск по сайту: