АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  3. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  4. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  5. V2: Применения уравнения Шредингера
  6. V2: Уравнения Максвелла
  7. VI Дифференциальные уравнения
  8. ZTRFRATE (ЗП.ТС.Ставки первого разряда)
  9. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  10. Алгебраические уравнения
  11. Алгебраические уравнения
  12. Алгоритм составления уравнения химической реакции

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка называется уравнение вида

F (x; y; ) = 0, (11.1)

где x – независимая переменная, y – зависимая переменная, – ее производная.

Решением ДУ (1.1) называется всякая функция y = f (x), обращающая уравнение (1.1) в верное равенство.

Частным решением ДУ (1.1) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям y = y0 при x = x0.

Общим решением ДУ (1.1) первого порядка называется функция y = Y (x, c), где С – произвольная постоянная, удовлетворяющая двум условиям:

1) y = Y (x, c) является решением ДУ (1.1);

2) всякое частное решение получается из общего решения y = Y (x, c) при конкретном значении С.

Геометрическое общее решение ДУ – семейство кривых, называемых интегральными.

Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Задача Коши: найти частное решение ДУ (1.1) при начальных условиях y = y0 при x = x0.

Если общее решение представляется в неявном виде g(x; y; c) = 0 или g1 (x; y; c)=g2 (x; y), то оно называется общим интегралом, п ри конкретном значении С – частным интегралом.

Рассмотрим ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной

 

= f (x; y), (11.2)

где f – некоторая функция двух переменных (см. далее)

 

Теорема существования и единственности решения.

Пусть в ДУ (1.2) функция f (x; y) и ее частная производная непрерывна на открытом множестве G координатной плоскости XOY. Тогда:

1. Для всякой точки (x0; y0) множества G найдется решение y = y(x) ДУ (11.2), удовлетворяющее условию y = y0 при x = x0;

2. Если два решения y= y1(x) и y = y2 (x) уравнения (1.2) совпадают хотя бы для одного значения x = x0, то есть если y1(x0) = y2 (x0), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены.

 

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку (x0; y0) множества G проходит одна и только одна интегральная кривая ДУ (11.2).

 

Установим связь между уравнением (11.2) и его интегральными кривыми. Пусть f (х;у) определена и непрерывна в области G; у = у(х) – интегральная кривая, проходящая через точку M(х; у). Проведем касательную к интегральной кривой в точке М; α – угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ, тогда tgα = (x) (рис1.1), но (x) = f (x, y(x)), тогда tgα = f (x, y(x)).

 

 

Рис 11.1

Таким образом, если через точку М(х;у) проходит интегральная кривая, то угол наклона касательной к ней в этой точке определяется формулой tgα = f (x, y).

Наклоны касательной можно указать, не находя интегральных кривых. Построим в каждой точке М € G отрезок, составляющий с положительным направлением оси ОХ угол α, тангенс которого tgα = f (x, y). Получим поле направлений, определяемой уравнением (1.2).

Кривая, в каждой точке которой направление поля ДУ (1.2) одно и то же, называется изоклинами этого уравнения. Уравнения изоклин f (x; y) = k, где k = tgα = const. Например, для уравнения y’= x² + y² изоклинами будут концентрические окружности x² + y² = k (рис11.2)

 

Рис 11.2

 

При k=1 имеем x² + y² = 1. Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси ОХ под углом П/4. Зная изоклины, можно построить интегральные кривые данного ДУ.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)