Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка называется уравнение вида

F (x; y; ) = 0, (11.1)

где x – независимая переменная, y – зависимая переменная, – ее производная.

Решением ДУ (1.1) называется всякая функция y = f (x), обращающая уравнение (1.1) в верное равенство.

Частным решением ДУ (1.1) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям y = y0 при x = x0.

Общим решением ДУ (1.1) первого порядка называется функция y = Y (x, c), где С – произвольная постоянная, удовлетворяющая двум условиям:

1) y = Y (x, c) является решением ДУ (1.1);

2) всякое частное решение получается из общего решения y = Y (x, c) при конкретном значении С.

Геометрическое общее решение ДУ – семейство кривых, называемых интегральными.

Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Задача Коши: найти частное решение ДУ (1.1) при начальных условиях y = y0 при x = x0.

Если общее решение представляется в неявном виде g(x; y; c) = 0 или g1 (x; y; c)=g2 (x; y), то оно называется общим интегралом, п ри конкретном значении С – частным интегралом.

Рассмотрим ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной

= f (x; y), (11.2)

где f – некоторая функция двух переменных (см. далее)

Теорема существования и единственности решения.

Пусть в ДУ (1.2) функция f (x; y) и ее частная производная непрерывна на открытом множестве G координатной плоскости XOY. Тогда:

1. Для всякой точки (x0; y0) множества G найдется решение y = y(x) ДУ (11.2), удовлетворяющее условию y = y0 при x = x0;

2. Если два решения y= y1(x) и y = y2 (x) уравнения (1.2) совпадают хотя бы для одного значения x = x0, то есть если y1(x0) = y2 (x0), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку (x0; y0) множества G проходит одна и только одна интегральная кривая ДУ (11.2).

Установим связь между уравнением (11.2) и его интегральными кривыми. Пусть f (х;у) определена и непрерывна в области G; у = у(х) – интегральная кривая, проходящая через точку M(х; у). Проведем касательную к интегральной кривой в точке М; α – угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ, тогда tgα = (x) (рис1.1), но (x) = f (x, y(x)), тогда tgα = f (x, y(x)).

Рис 11.1

Таким образом, если через точку М(х;у) проходит интегральная кривая, то угол наклона касательной к ней в этой точке определяется формулой tgα = f (x, y).

Наклоны касательной можно указать, не находя интегральных кривых. Построим в каждой точке М € G отрезок, составляющий с положительным направлением оси ОХ угол α, тангенс которого tgα = f (x, y). Получим поле направлений, определяемой уравнением (1.2).

Кривая, в каждой точке которой направление поля ДУ (1.2) одно и то же, называется изоклинами этого уравнения. Уравнения изоклин f (x; y) = k, где k = tgα = const. Например, для уравнения y’= x² + y² изоклинами будут концентрические окружности x² + y² = k (рис11.2)

Рис 11.2

При k=1 имеем x² + y² = 1. Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси ОХ под углом П/4. Зная изоклины, можно построить интегральные кривые данного ДУ.

Поиск по сайту: