Примеры. Найти общие решения дифференциальных уравнений

Найти общие решения дифференциальных уравнений

11.1 =xy

Решение. Имеем уравнение вида (1.2), где f 1(x)= х; f 2(y)= у.

Разделяем переменные:

= ху = х ; у ;

Интегрируем обе части:

Находим неопределенные интегралы

.

Здесь произвольную постоянную удобно обозначить ln C, далее

,

или ,

знак модуля убрали, так как при произвольном значении С всегда можно полагать,

что ; - общее решение ДУ =xy

11.2

Решение. Имеем уравнение вида (11.3), делим почленно на (произведение функций, зависящих от у в первом слагаемом и от х – во втором)

.

После преобразования получаем

;

Интегрируем:

; или ; или

, где =15С.

Получили общий интеграл исходного уравнения.

11.3 Решить задачу Коши: Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям у=1 при х=0, или у(0)=1.

Решение В данном ДУ разделяем переменные

, интегрируем:

; или - общий интеграл данного

уравнения.

Подставляем в него х=0; у=1, получаем

.

Частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям.

, или

Поиск по сайту: