Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Все тригонометрические функции произвольного угла связаны между собой, т.е. зная одну функции всегда можно найти остальные. Эту связь дают формулы, рассматриваемые в данном разделе.

Теорема 1 (Основное тригонометрическое тождество). Для любого справедливо тождество

.

Доказательство состоит в применении теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами , и гипотенузой .

Справедлива и более общая теорема.

Теорема 2. Для того, чтобы два числа можно было принять за косинус и синус одного и того же вещественного угла , необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице:

Рассмотрим следствия из основного тригонометрического тождества.

Выразим синус через косинус и косинус через синус:

,

.

В данный формулах знак плюс или минус перед корнем выбирается в зависимости от четверти, в которой лежит угол.

Подставляя полученные выше формулы в формулы, определяющие тангенс и котангенс, получаем:

при , ,

при , .

Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на или получим соотвественно:

при , ,

при , .

Эти соотношения можно переписать в виде:

при , ,

при , ,

при , ,

при , .

Следующие формулы дают связь между тангенсом и котангенсом. Поскольку при , а при , то имеет место равенство:

, , .

Поиск по сайту: