Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции угла в два раза меньше исходного. Эти формулы являются следствиями формул суммы двух углов, если положить в них углы равными друг другу.

Последнюю формулу можно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества:

или

Таким образом, для косинуса двойного угла существует три формулы:

Следует отметить, что данная формула справедлива только при и , .

Последняя формула справедлива при , .

Аналогично функциям двойного угла могут быть получены функции тройного угла. Здесь данные формулы приводятся без доказательства:

,

,

,

.

Формулы половинного угла являются следствиями формул двойного угла и позволяют выразить тригонометрические функции некоторого угла через функции угла в два раза больше исходного.

Произведем следующие преобразования:

,

и выразим через :

.

Аналогичные преобразования произведем для :

,

.

Последние две формулы носят названия формул понижения степени.

Выведем формулу для :

.

Аналогично

.

Кроме вышеприведенных часто используются следующие формулы для тангенса и котангенса половинного аргумента:

или

последние две формулы имеет смысл при , .

последние две формулы имеет смысл при , .

Поиск по сайту: