Формулы суммы и разность углов

Теорема 3. Для любых вещественных и справедливы следующие формулы:

,

.

Доказательство. Докажем сначала формулу косинуса разности . Возьмем на тригонометрической окружности два угла и , . Также построим .

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (, по построению). Из равенства треугольников следует равенство сторон .

По определению тригонометрических функций точки имеют следующие координаты:

, , , .

Найдем длину равных отрезков и :

В приведенных выше преобразованиях использовалось основное тригонометрическое тождество для углов , и . Приравнивая получившиеся длины, после приведения подобных слагаемых и сокращения на 2, получаем:

.

Следует отметить, что в том случае, когда рассмотренные треугольники не существуют, т.е. когда разность углов и кратна , производиться при помощи формул приведения.

Доказательство остальных формул основано на формулах приведения и четности/нечетности тригонометрических функций.

Что и требовалось доказать.

Теорема 4. Для любых вещественных и , таких, что

1. , , , , справедливы следующие формулы

,

2. , , , , справедливы следующие формулы

.

Доказательство. По определению тангенса

Последнее преобразование получено делением числителя и знаменателя этой дроби на .

Аналогично для котангенса (числитель и знаменатель в этом случае делятся на ):

Что и требовалось доказать.

Следует обратить внимание на тот факт, что правые и левые части последних равенств имеют разные области допустимых значений. Поэтому применение этих формул без ограничений на возможные значения углов может привести к неверным результатам.

Поиск по сайту: