Задание 1. Формализация задач линейного программирования

Пример 1.1. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П₁ и П₂. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта - A, B, C. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья A, B, C на 1 тыс. изделий П₁ и П₂ приведены в табл. 1.1.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П₂ никогда не превышает спроса изделия П₁ более чем на 1 тыс. шт.

Кроме того, установлено, что спрос на изделия П₂ никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.

Оптовые цены за 1 тыс. шт. изделий равны, соответственно, П₁ - 3 тыс. руб., П₂ - 2 тыс. руб.

Таблица 1.1

Необходимо спланировать производство так, чтобы доход от реализации продукции фабрики был максимальным?

Построение математической модели следует начать с идентификации переменных (искомых величин), но так, чтобы после этого целевая функция и ограничения могли быть выражены через соответствующие переменные.

В рассматриваемом примере имеем следующее:

Переменные. Так как нужно максимизировать прибыль, а она зависит от объемов производства каждого вида продукции, то переменными являются:

- суточный объем производства изделия П₁ в тыс. шт.;

- суточный объем производства изделия П₂ в тыс. шт.

Целевая функция. Так как стоимость 1 тыс. изделий П₁ равна 3 тыс. руб., суточный доход от ее продажи составит 3 тыс. руб. Аналогично доход от реализации тыс. шт. П₂ составит 2 тыс. руб. в сутки. При допущении независимости объемов сбыта каждого из изделий общий доход равен сумме двух слагаемых - дохода от продажи изделий П₁ и дохода от продажи изделий П₂.

Обозначив доход (в тыс. руб.) через , можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения и , максимизирующие величину общего дохода:

,

Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов A, B и С и спрос на изготовляемую продукцию, что можно записать так:

Суточный расход исходного продукта для производства обоих видов изделия

Максимально возможный суточный запас данного исходного продукта

Это приводит к трем ограничениям:

+ 2 6 (для А),

2 + 8 (для В),

+ 0.8 5 (для С).

Ограничения на величину спроса на продукцию имеют вид:

- 1 (соотношение величин спроса на изделия П₁ и П₂),

2 (максимальная величина спроса на изделия П₂).

Вводятся также условия неотрицательности переменных, т. е. ограничения на их знак:

0 (объем производства П₁),

0 (объем производства П₂).

Эти ограничения заключаются в том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательных значений.

Следовательно, математическая модель записывается следующим образом.

Определить суточные объемы производства ( и ) изделий П₁ и П₂ в тыс. шт., при которых достигается

при наличии ограничений

Математическая модель задачи получена. Отметим, что на 3 этапе исследования операций следует выбрать метод решения задачи, для чего её нужно отнести к некоторому классу задач. Полученная модель относится к задачам линейного программирования, так как целевая функция и функции ограничений – линейные, а на переменные наложено ограничение неотрицательности. Следовательно, решить задачу, провести анализ полученного решения можно с помощью методов решения задач линейного программирования, которые будут рассмотрены ниже.

Поиск по сайту: