Типовой пример. Найти минимум функции/(Х) = (.х|-2)2+ (хг-1)2 при смешан­ных ограничениях h(X) =хх-2х2+1.= 0; g(X) = -0,25л:,2-х;+ 1> 0

Найти минимум функции/(Х) = (.х_|-2)²+ (х_г- 1)² при смешан­ных ограничениях h(X) =х_х-2х₂+1.= 0; g(X) = -0,25л:,² -х;+ 1> 0.

Воспользуемся комбинированным методом штрафных функ­ций.

Построим расширенную функцию:

= (л, -2)² +(х₂ -I)² +ф, -2x₂+\f +■

-0,25х,^г-х₂²+Г

Минимизацию F(X,r) выполним градиентным методом, в соответствии с которым направление спуска выбирается по ан­тиградиенту S^k =-F'(x^k). Тдгда минимизирующая последова­тельность построится по рекуррентной формуле

X^ki'=X^k +a_kS^k,k = 0,\, 2,...

Для этого на каждом шаге нам понадобятся значения функ­ций:

где присоединенная функция имеет

вид:

\ ₇ ф²+4.*--4) '

Следуя методу градиентного спуска, координаты точки Х^к*^] будут вычисляться так:

------

dx_t дх₂

В качестве исходной точки выберем Z⁰=(0,5;0,5). Результа­ты решения последовательности задач при увеличивающемся зна­чении г, начиная с г = 1, приведены в таблице.

4. Найти минимум функции f{X) = _x> +9x] -10.x, -18jc₂ +34
при ограничениях А (X) = *, + ^ _ ₅ == о_; g (х) = -0,5xf + х₂ - 4,5 > 0;

5. Найти минимум функции f(x) = х] + Ах\ - 1(Ц - \Ьх_г + 41

при ограничениях

= -x,²+4х, + -3>0;

6. Найти минимум функции /(^) = х,² +4.х₂² -8х, -16х₂ +32 при ограничениях h(X) = -x_t +x₂ -1 = 0;

Задание для лабораторной работы

Решить задачи условной оптимизации со смешанными ог­раничениями:

1. Найти минимум функции f(X) -■ х^г_{ + х\ - 4х, - 2х₂ + 5 при

ограничениях h(X) = x, +2x₂ =1; g(X) = -0,25xf -x;-\>0;

2. Найти минимум функции f(X) = x₁² +х^ —\6х₁ -10х₂ +89
при ограничениях h(X) = 2х\ -1 2х_] +9х₂ -27 =0;g(X) - -5х; +

7. Найти минимум функции f(X) = х² + 9х² - Юх, -Збх, + 61 при ограничениях /г(Х) = -х²-4х, +4х₂-12 = 0; g(X) = -3xf +

+ 7х₂+27>0.

3.2. Метод возможных направлений 3.2.1. Постановка задачи выпуклого программирования

Рассмотрим задачу выпуклого программирования (ЗВП) шт{/₀(ДГ)|у;(ЛГ)<&,,/£/,; {4,Х)*Ь„ ieI₂\0<X<c}. (3.10) Введем обозначения:

fft₍.-/;(*), «6/,;
^:ii. _1л у\;_РЛ. (3.11)

3. Найти минимум функции /(.Y) = x,² +x²₂ -14х, -4х₂ +53 при ограничениях h(X) = 2xf -25,x₂ -125 = 0;g(A^r) = -x; +2х_] + + 4х₂ - 3 > 0;

Тогда задачу (3.10) можно

,и/, ⁽³¹²⁾

записать следующим образом:

^(ЗЛЗ) 47

Поиск по сайту: