Описание второго алгоритма симплекс-метода

Опишем алгоритм применительно к решению ЗЛП, записанной в канонической форме с односторонними ограничениями:

Пусть известен начальный опорный план с базисом , т.е. - базисные компоненты, - небазисные компоненты.

В данном методе все параметры итерации, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, вычисляются через элементы обратной матрицы . Поэтому второй алгоритм симплекс-метода также называют алгоритмом обратной матрицы.

Вычисления удобно выполнять, используя две симплекс-таблицы:

Основная таблица
№		P			…			t
					…			…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…			…
					…

Вспомогательная таблица
№			…
			…
…	…	…	…	…
			…
			…
			…
			…
			…
…	…	…	…	…

Порядок вычислений по второму алгоритму

1. Найти обратную матрицу и заполнить её элементами столбцы , основной симплекс-таблицы.

2. Вычислить значение линейной формы как скалярное произведение столбцов и основной таблицы. Результат занести в -ю строку столбца основной симплекс-таблицы.

3. Вычислить значения элементов вектора-строки по формуле , как скалярное произведение столбцов и основной симплекс-таблицы. Полученными значениями заполнить -ю строку основной симплекс-таблицы.

4. Найти значения оценок векторов условий относительно базиса по формуле , , как произведение вектора-строки основной таблицы на соответствующий столбец вспомогательной таблицы минус соответствующий коэффициент линейной формы, записанный в -ой строке вспомогательной таблицы. Полученные значения занести в строку вспомогательной таблицы с номером, соответствующим номеру выполняемой итерации.

5. Проверить оптимальность опорного плана.

· Если все оценки неотрицательные (), то - оптимальный опорный план и, тогда, в столбце основной симплекс-таблицы записано решение ЗЛП, а именно, значения базисных компонент оптимального опорного плана и соответствующее ему максимальное значение линейной формы. На этом процесс решения ЗЛП завершается.

· Если среди оценок найдутся отрицательные (), то для построения нового опорного плана необходимо найти вектор, который будет вводиться в базис. Он определяется по номеру наименьшей отрицательной оценки и, таким образом, устанавливается разрешающий столбец .

6. Вычислить коэффициенты разложения вектора по базису , используя формулу , как произведение -ой строки обратной матрицы из основной таблицы на столбец вспомогательной таблицы. Полученные значения занести в столбец основной симплекс-таблицы.

7. Определить вектор, выводимый из базиса. Для этого необходимо заполнить столбец основной таблицы значениями путем деления элементов столбца основной таблицы на соответствующие им по номеру элементы столбца основной таблицы.

· Если все , то исходная задача неразрешима в силу неограниченности сверху линейной формы . На этом процесс решения ЗЛП завершается.

· Если , то необходимо выбрать . Пусть им оказался элемент с номером , т.е. . Тогда соответствующий этому индексу вектор должен выводиться из базиса. Элемент является «разрешающим». На этом нулевая итерация завершена и надлежит приступить к выполнению следующей итерации.

8. Для заполнения новой основной таблицы вычислить по рекуррентным формулам новые значения параметров итерации.

· Заполнить -тую строку новой основной таблицы элементами , , получающимися делением соответствующих элементов () -той строки старой основной таблицы на разрешающий элемент , т.е. по формулам .

· Все остальные -тые строки главной части новой основной симплекс-таблицы получить как результат вычитания из -той строки старой основной симплекс-таблицы -той строки новой симплекс-таблицы, умноженной на соответствующий -тый элемент разрешающего столбца старой основной симплекс-таблицы, т.е. в соответствии с рекуррентными формулами . По аналогичным формулам могут быть вычислены также и элементы -й строки: .

Описанный процесс построения симплекс-таблиц повторяется до получения оптимального опорного плана или до установления неограниченности линейной формы, т.е. неразрешимости ЗЛП.

Решение М -задачи

Весь процесс решения исходной задачи (2.15) – (2.16) приведен в таблицах 2.3 и2.4.

Заполнение таблиц происходит в соответствии с описанным выше алгоритмом.

Таблица 2.3

Основная симплекс-таблица

0 итерация

N		P	B						t
									12 3/4
									8 14/15
									6 5/8
	-М								1 2/3
m+1	-	-	-50М				-М	-30М-48	-

 

 

1 итерация

N		P	B						t
			44 1/3				-2/15	-2/5	+
							-1		+
			79 1/3				-8/15	-1 3/5	+
			1 2/3				1/30	3/5	2 7/9
m+1	-	-					1 3/5	-27 1/5	-

2 итерация

N		P	B						t
			45 4/9				-1/9	1/9
							-1
			83 7/9				-4/9	4/9	188 1/2
			2 7/9				1/18	-1/18	+
m+1	-	-	155 5/9				3 1/9	-3 1/9	-

 

3 итерация

N		P	B						t
			24 1/2			-1/4
			29 1/2			-2 1/4
			188 1/2			2 1/4	-1
			13 1/4			1/8
m+1	-	-							-

Вспомогательная симплекс-таблица Таблица 2.4

N	B
									-1
m+1	С									-M
		-22M-30	-14M-25	-18M-56	-30M-48				M
		5 1/5	-2 3/5	-27 1/5					-1 3/5	1 3/5+M
		38 4/9	18 5/9		45 1/3				-3 1/9	3 1/9+M
										M

 

Решение М-задачи получено за 4 итерации. Оптимальный план её представляет вектор и . В оптимальном плане М-задачи искусственная переменная , поэтому вектор - решение исходной задачи (2.15), (2.16) и .

Окончательное решение задачи определения оптимальной производственной программы предприятия полностью совпадает с решением, полученным с помощью первого алгоритма.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

---