Вопрос 26Распределение вероятностей и ожидаемая доходность

У любых инвестиций есть два аспекта – доходность и риск. Расчет доходности простой. Допустим, два года назад было инвестировано 150 руб., а сегодня получено 300 руб. Чтобы подсчитать доходность за период инвестирования, нужно конечную стоимость разделить на начальную и вычесть единицу:

300 / 150 – 1 = 100%.

Чтобы подсчитать в этом же случае годовую доходность, нужно вновь конечную стоимость разделить на начальную, далее извлечь корень той степени, сколько лет длился период, и после этого вычесть единицу:

(300 / 150)^1/2 – 1 = 41,4%

Еще один пример. Предположим, было инвестировано 100 руб., через три месяца получено 108 руб. В этом случае, очевидно, доходность за период будет 8%, а годовая:

(108 / 100)^(1/(3/12))– 1 = 36,0%

При вычислении годовой доходности неявно предполагается, что такая же доходность будет и все остальное время года. Период инвестиций составил три месяца из двенадцати в одном году – отсюда показатель степени. Если период инвестиций измеряется в днях, то делить их количество нужно на 365.

Историческая доходность вложений в какой-нибудь актив определяется двумя способами. Самый простой – подсчитать среднеарифметическую доходность: просуммировать доходность каждого года за ряд лет и разделить на количество лет. В качестве альтернативы можно подсчитать среднегеометрическую доходность: перемножить отношения конечной суммы инвестиций к начальной за ряд лет и извлечь из произведения корень степени, равной количеству лет (отношение конечной суммы инвестиций к начальной равно единице плюс доходность). Проиллюстрируем эти способы на простом примере:

	Год Начальная сумма Конечная сумма Отношение Доходность       1,2 20%       1,2 20%       0,83 -16,7%

Доходность за три года:

Среднеарифметическая: (20,0% + 20,0% - 16,7%) / 3 = 7,8%

Среднегеометрическая: (1,20 * 1,20 * 0,83)^1/3 = 6,3%

Легко видеть, что среднегеометрическая доходность в точности равна годовой доходности, при определении которой используются только начальная и конечная сумма инвестиций:

(120 / 100)^1/3 = 6,3%

Среднегеометрическая доходность никогда не превышает среднеарифметической, и равна ей только в том случае, когда доходности за каждый год строго равны между собой – это доказывается математически.

Иными словами, среднеарифметическую доходность можно использовать только тогда, когда по окончанию расчетного периода прибыль изымается со счета (восполняется убыток) и новый период начинается точно с той же суммы, что и начальный период. Если же производится полное реинвестирование суммы прибыли (или не восполняется убыток), то пользоваться надо среднегеометрической доходностью, которая позволяет учитывать сложные проценты. Первая ситуация носит несколько искусственный характер, вторая более приближена к жизни, поэтому при подсчете исторической доходности за ряд лет обычно используют геометрическое усреднение, что указывается в стандартах и подразумевается по умолчанию.

Некритическое использование среднеарифметической доходности приводит к парадоксу. Предположим, инвестиции в первый год выросли на 100%, а во второй упали на 50%. Конечная сумма равна начальной, и среднегеометрическая доходность, как и положено, будет нулевой. Среднеарифметическая же будет +25%.

Многие инвесторы, если спросить их, в какую сторону изменилась цена, если вчера она упала на 5%, а сегодня выросла на 5%, ответят, что цена не изменилась – очень уж хочется пользоваться таким простым арифметическим усреднением. На самом деле цена, конечно, снизилась (помните – среднегеометрическая доходность никогда не превышает среднеарифметическую?). Для ориентации полезна следующая таблица (если цена снизилась на Х%, она должна возрасти на Y%, чтобы вернуться к первоначальному уровню):

	X Y 5,00% 5,30% 10,00% 11,10% 15,00% 17,60% 20,00% 25,00% 30,00% 42,90% 50,00% 100,00% 75,00% 300,00%

Среднегеометрическая доходность за много лет обычно используется для прогнозирования будущей среднегодовой доходности при долгосрочных вложениях в тот же актив. Среднеарифметическая доходность используется для прогнозирования будущей доходности в течение следующего года. Выглядит странно; тем не менее, так оно и есть, если вспомнить теорию статистики. Но в результате прогноз роста рынка акций на будущий год может постоянно завышаться.

Доходность портфеля активов рассчитывается как средневзвешенная доходностей отдельных активов, входящих в портфель, с весами, соответствующими начальным долям активов в портфеле (сумма весов всегда равна единице). Например, если был составлен портфель, состоящий из 40% РАО ЕЭС и 60% Лукойла, то при доходности РАО ЕЭС 50% а Лукойла – 30%, доходность портфеля составила 0,4*0,5 + 0,6*0,3 = 0,38 или 38%.

Поиск по сайту: