Приклади. 1.Розв‘язати задачу Коші , y(0) = 2,

1. Розв‘язати задачу Коші , y (0) = 2, .

Розв‘язування. Спочатку знайдемо загальний розв‘язок однорідного рівняння . Його характеристичне рівняння має коріння k₁ = k₂ = 1, тому загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина неоднорідного рівняння є многочлен першої степені f(x) = P₁(x) = x + 1. Оскільки нуль не є коренем характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок неоднорідного рівняння так само шукатимемо у вигляді многочлена першого степені (x)= Q₁ (x) = Ax + B. Підберемо константи А і В так, щоб функція задовольняла неоднорідному рівнянню. Для цього підставимо функцію (x)=Q₁ (x) = Ax + B і її похідні  в рівняння , отримаємо

- 2 А + А x + B = х + 1 або Ax + (- 2 A + B) = x + 1.

Остання рівність повинна виконуватися при усіх значеннях х, що можливо лише у тому випадку, коли рівні коефіцієнти при однакових степенях х в його лівій і правій частинах. Прирівнюючи відповідні коефіцієнти, отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення величин А і В

Звідси А = 1, В = 3 і, значить, частковим розв‘язком неоднорідного рівняння є функція (x)= x + 3. Загальний розв‘язок рівняння має вигляд

y(x) = y₀(x) + .

Тепер підберемо константи c₁ і c₂ так, щоб ця функція задовольняла заданим початковим умовам. Оскільки y (0) = 2, то, підставивши у функцію і в її похідну задані початкові умови, отримаємо систему рівнянь для визначення постійних c₁ і c₂

Звідси c₁ = - 1 і c₂ = - 3. Значить, розв‘язок задачі є функція

2. Знайти загальний розв‘язок рівняння .

Розв‘язування. Коріння характеристичного рівняння k₁ = k₂ = -1 рівні між собою, тому загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина рівняння є функція типу ae^mx зі значенням m = - 1, яке є коренем характеристичного рівняння кратності два m = k₁ = k₂ = - 1. Тому, частковий розв‘язок рівняння шукатимемо у виді . Знайдемо похідні цієї функції

,

і підставимо ці похідні і саму функцію в початкове рівняння

+2( ,

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли A = 5/2. Таким чином, частковий розв‘язок рівняння є функція , а його загальний розв‘язок має вигляд y(x) = y₀(x) +

3. Знайти загальний розв‘язок рівняння .

Розв‘язування. Коріння характеристичного рівняння рівні (α = 0, β = 3), тому загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина нашого рівняння є комбі-нація синуса і косинуса при a = 5, b = 0 і m = 2.

Оскільки число 2i не є коренем характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок рівняння шукатимемо у виді . Знайдемо похідні цієї функції

,

і підставимо їх разом з функцією в початкове рівняння

+ 9 ∙ = ,

= .

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли A = 1 і B = 0. Значить, частковим розв‘язком рівняння є функція , а його загальний розв‘язок має вигляд

y(x) = y₀(x) +

4. Знайти загальний розв‘язок рівняння .

Розв‘язок. Тут характеристичне рівняння має коріння , . Загальний розв‘язок однорідного рівняння таке: . В правій частині початкового рівняння - добуток показникова і триго-нометрична функції. Число не є коренем характеристичного рівняння, тому частковий розв‘язок шукаємо у виді . Диференціюючи і підставляючи в рівняння, отримаємо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при cosx і sinx, знаходимо

, ,

звідки A =3/10, B = 3/5. Таким чином, частковий і загальний розв‘язок відповідно:

і y(x) = =

Завдання для самостійного розв‘язку

Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку:

7.46. Відповідь:

7.47. Відповідь:

7.48. Відповідь:

7.49. Відповідь:

7.50. Відповідь:

7.51. Відповідь:

7.52. Відповідь:

7.53. Відповідь:

7.54. Відповідь:

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами:

7.55. Відповідь:

7.56. Відповідь:

7.57. Відповідь:

7.58. Відповідь:

7.59. Відповідь:

7.60. Відповідь:

7.61. Відповідь:

7.62. Відповідь:

7.63. Відповідь:

7.64. Відповідь:

7.65. Відповідь:

7.66. Відповідь:

Розв‘язати задачу Коші:

7.67. ; Відповідь:

7.68. ; Відповідь:

7.69 ; Відповідь:

7.70. ; Відповідь:

7.71. ; Відповідь:

7.72. . Відповідь:

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

Знайти загальні розв’язки рівнянь:

7.73. Відповідь:

7.74. Відповідь:

7.75. Відповідь:

7.76. Відповідь:

7.77. Відповідь:

7.78. Відповідь:

7.79. Відповідь:

7.80. Відповідь:

7.81. Відповідь:

Розв‘язати задачу Коші

7.82. ; Відповідь:

7.83. ; Відповідь:

7.84. ; Відповідь:

7.85. . Відповідь:

7.3. Розв‘язування звичайних диференціальних рівнянь у Maxima

7.3.1. Символьний (аналітичний) розв‘язок ЗДР

У Maxima представляється можливим за допомогою спеціальних засобів проводити аналітичний розв‘язокзадачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь, заданих як в явній формі dx/dt = F(t, x), так і в неявній Mdy/dt = F(t, x), де М - матриця. Такі засоби називають солверами ЗДР (solver ODE), що забезпечують користувачеві можливість вибору методу, завдання початкових умов та ін. Одним з таких засобів є функція ode2, що дозволяє розв‘язування в символьному виді звичайних диференціальних рівнянь першого і другого порядків.

Синтаксис виклику функції ode2