Основні поняття і визначення

Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння першого порядку

Основні поняття і визначення

Диференціальне рівняння першого порядку є:

, (7.1)

рівнянням, яке розв‘язане відносно похідної.

,. (7.2)

диференціальна форма рівняння першого порядку

. (7.3)

Початкова умова для диференціального рівняння першого порядку

чи . (7.4)

7.1.2. Типи рівнянь і методи їх розв‘язання

Рівняння із змінними, що розділяються

. (7.5)

Загальний розвʹязок цього рівняння має вигляд

. (7.6)

Приклади. 1.⁰ Знайти загальний розв‘язок диференціального рівняння:

.

Розділимо змінні

чи , тоді .

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах

і

- це і є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння.

2.⁰ Знайти розв‘язок диференціального рівняння за умовою у(2) = 1 (задача Коші).

Маємо , або звідки

і

при у(2) = 1 отримуємо

Разом: або - частковий розв‘язок;

3.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо , , або

. Загальний розв‘язок має вигляд .

4.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо

5.⁰ Розв‘язати рівняння за умовою у(1) = 0 (задача Коші).

Маємо ,

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах

.

.

Якщо у(1) = 0, то

Таким чином, розв‘язок задачі Коші є .

6.⁰ Розв‘язати рівняння .

. Спростимо це рівняння

чи , або

Проводячи інтегрування, отримуємо загальний інтеграл:

.

7.⁰ Розв‘язати рівняння .

Перетворимо задане рівняння: ,

чи , .

Однорідні рівняння першого порядку

Загальний розвʹязок цього рівняння має вигляд

, де . (7.8)

Приклад. Розв‘язати рівняння .

Введемо допоміжну функцію u

.

Відмітимо, що введена нами функція u завжди позитивна, оскільки інакше втрачає зміст початкове диференціальне рівняння, що містить .

Підставляємо в початкове рівняння:

Розділяємо змінні:

Інтегруючи, отримуємо:

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальний розв‘язок:

Лінійні рівняння:

(7.9)

Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)¹0) застосовуються в основному два методи: метод Бернулли і метод Лагранжа.

Метод Бернуллі. Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді .

Загальний розвʹязок рівняння (7.9) методом Бернуллі має вигляд

. (7.10)

Метод Лагранжа (метод варіації довільної постійної). Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді

, де тому

загальний розвʹязок рівняння (7.9) методом Лагранжа має вигляд

. (7.11)

Приклад. Розв‘язати рівняння

Спочатку приведемо це рівняння до стандартного виду:

Застосуємо отриману вище формулу: . Тоді

чи

звідки

Рівняння Бернуллі (7.12)

Для розв’язання рівняння Бернуллі застосовують підстановку , розвʹязок рівняння (7.12) має виггляд:

, (7.13)

Приклади. 1). Розв‘язати рівняння

Розділимо рівняння на xy²:

Вважаємо .

Вважаючи , знайдемо

.

Виробивши зворотну підстановку, отримуємо:

2). Розв‘язати рівняння

Розділимо обидві частини рівняння на

Вважаємо

.

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Розглянемо відповідне йому лінійне однорідне рівняння:

Вважаємо C = C(x) і підставляємо отриманий результат в лінійне неоднорідне рівняння, з урахуванням того, що:

Отримуємо:

Застосовуючи зворотну підстановку, знаходимо остаточну відповідь:

.

Задачі для самостійного розв‘язку

Поиск по сайту: