Приклади. 1) y′= , (0;0) – особлива точка, оскільки f (х, у)= в точці (0,0) терпе розрив

1) y′= , (0;0) – особлива точка, оскільки f (х, у) = в точці (0,0) терпе розрив. Розв’язуючи рівняння отримаємо , і ln|y|=2ln|x|+lnc. Отже загальний розв’язок має вигляд y=cx . Таким чином через точку (0,0) проходить нескінченно багато рішень(параболи). Точку такого типу називають вузол.

2) y′= ((0;0) – особлива точка). Розв’язуючи рівняння отримаємо , і ln|y|=ln , отже y= . Тобто через точку (0,0) не проходить ні один розв’язок (гіпербола). Таку точку називають сідло.

3) y′= ((0;0) – особлива точка). Розв’язуючи отримаємо загальний розв’язок: уdy=-хdx, dy=- хdх, отже y =-x +с або y + x =с. Через точку (0,0) не проходить ні один розв’язок (коло). Таку точку називають центр.

4) y′= ((0;0) – особлива точка). Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд x²+y²=с або у полярних координатах =с . Через точку (0,0) теж не проходить ні один розв’язок (спіраль). Таку точку називають фокус.

Самостійно привести зображення кожної з вказаних ситуацій.

Друга умова з порушенням якою зв’язані особливі точки це умова Ліпшица, або обмеженість , тобто особливі точки можуть з’явитися у точках при наближені до яких необмежено росте, або в котрих виконується рівність .

Означення. Крива називається особою, якщо всі точки кривої є особливими. Якщо особлива крива є рішенням диференціального рівняння, вона називається особливим рішенням.

Приклад. Розглянемо рівняння y′= +1. Оскільки то виконується для точок, що задовольняють рівності у=х – особливе рішення. Той факт, у=х рішення нескладно отримати підставляючи у=х до рівняння.

Знайдемо загальне рішення даного рівняння. Для цього введемо заміну z=y – х, z′=y′ - 1 і y′= z′+1, отже z′+1= +1. Розв’язуючи останнє рівняння отримаємо =dx, =∫dx, тобто 3 =x+c, або = x +c і на кінець z= ( x +c) ³. Загальний розв’язок рівняння має вигляд y=x+ ( x +c) ³. Кожна крива цього сімейства проходить через точку кривої у=х і навпаки через кожну точку () кривої у=х проходить деяка крива сімейства, при відповідному (самостійно зробити зображення сімейства та у=х), отже особливий розв’язок рівняння.

Поиск по сайту: