Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння y +p (x) y +…+p (x)y=f(x), або Ly=f(x). Враховуючи лінійність рівняння легко довести, що якщо у є рішенням неоднорідного рівняння, а y – однорідного, то функція у +y – рішення неоднорідного рівняння. Дійсно

L (у +y ) =Lу +Ly = f(x) +0.

Теорема. Нехай дане лінійне неоднорідне рівняння n – го порядку й функції f(x), p (x),…,p (x) неперервні на [a;b]. Якщо у …y –фундаментальна система рішень, відповідного лінійного однорідного рівняння, у - будь-яке рішення неоднорідного рівняння, тоді загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд у= у+ с у +…+c у , де довільні константи.

Доведення. Відмітимо, що згідно з попереднім твердженням у= у+ с у +…+c у є рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші можна отримати з рішення у= у+ с у +…+c у вибираючи відповідним чином константи. Розглянемо довільні початкові умови в .

Підставляючи замість у його значення отримаємо систему рівнянь відносно

Визначник даної системи – визначник Вронского W(х )≠0 (оскільки виконуються умови теореми 4, лекції 5). Таким чином, система має єдине рішення, підставляючи замість довільних констант рішення системи у функцію у, одержимо шукане рішення задачі Коші, що доводить теорему.

Приклад. y′′+ y′+y=х+1.

Не складно перевірити, що =x рішення рівняння. Знайдемо фундаментальну систему рішень рівняння y′′+ y′+y=0. Відповідне характеристичне рівняння має вид k +k+1=0, отже k = k = . Таким чином фундаментальна система рішень є , отже загальне рішення рівняння має вид y=x+c +c .

Поиск по сайту: