Формула Даламбера

Розглянемо задачу для прямої (безмежної струни)

.

Рівняння характеристик розпадається на рівняння

,

інтегруючи які отримаємо .

Зробимо заміну

Рівняння коливання струни прийме вигляд .

Тоді для будь якого розв’язку рівняння отримаємо і

, де і довільні функції.

Переходячи до змінних отримаємо

- загальний інтеграл рівняння.

Знайдемо і при яких виконуються початкові умови:

.

Із другого рівняння

- константи.

З рівностей

знайдемо

.

Підставивши в отримаємо

(формула Даламбера).

Формула Даламбера задовольняє (мається на увазі для двічі диференційованої функці і диференційованої функції ) рівнянню та початковим умовам. Таким чином, викладений метод доводить як єдиність (будь який розв’язок виражається однією і тою ж формулою), так і існування розв’язку задачі.

Зауваження. Функція , що визначена за формулою Даламбера, описує процес розповсюдження початкової швидкості. Припустимо що спостерігач знаходиться у момент в точці та рухається зі швидкістю у позитивному напрямку. Впровадимо систему координат, що зв’язана зі спостерігачем, , . В цій рухомій системі має визначатися формулою , і спостерігач буде бачити весь час один і той же профіль, що і в початковий момент. Отже, удає незмінний профіль , що поширюється праворуч зі швидкістю . Функція - удає хвилю, що поширюється ліворуч зі швидкістю . Таким чином, загальний розв’язок задачі Коші для нескінченної струни є суперпозиція двох хвиль , одна з яких поширюється праворуч, а друга ліворуч зі швидкістю .

Поиск по сайту: