Лінійні рівняння першого порядку

Означення. Рівняння виду y′=а(х)у+b(х) називається лінійним рівнянням першого порядку.

Теорема. Нехай а(х), b(х) неперервні на [a, b], тоді задача Коші в будь-якій точці смуги [a,b] має єдине рішення.

Доведення теореми випливає з загальної теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, оскільки f(x,y)=а(х)у+b(х) неперервна на області [a,b] , а обмежена (а(х) – неперервна на [a, b]).

Знайдемо рішення рівняння методом невизначених коефіцієнтів. Спочатку вирішимо однорідне рівняння y′=а(х)у, або = a(x)dx. Інтегруючи, будемо мати . Отже ln|y|=∫a(x) dx+lnc, c>0, або y=c .Рішення лінійного рівняння будемо шукати у вигляді y=c(х) , де c(х) – невідома функція.

Оскільки y=c (х) , то y′= c (х) +c(x) a(x) . Підставляючи y та y′ у рівняння y′=а(х)у+b(х) будемо мати c′ (х) +c(x) a(x) =a(x) c(x) + b (х). Отже c′ (х) = b (х) , або с (х)= ∫ b(х) dx. Таким чином отримаємо розв’язок рівняння у вигляді y(x) = (∫ b (х) dx)∙ .

Приклад. Розв’язати y′=xy+x .

Оскільки а(х)=х, а b(х)= x ² маємо y= (∫ x²∙ dx) ∙ = (∫ x²∙ dx) ∙ .

Поиск по сайту: