Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій

1. Знайти обмежену функцію визначену на області , що задовольняє рівнянню і початковій умові .

Будемо шукати розв’язок в вигляді . Підставляючи в рівняння отримаємо

( - параметр).

Маємо рівняння для і відповідно

Розв’язуючи ці рівняння знайдемо частинний розв’язок вихідного рівняння

.
Розглянемо функцію

(вона задовольняє рівняння, так як суперпозиція розв’язків – розв’язок). Вимагаючи виконання початкової умови при отримаємо

(із перетворення Фур’є) отримаємо

.

Підставляючи в , остаточно будемо мати

Таким чином,

називається інтегралом Пуассона, неперервно примикає до (доведення дивіться [5]) і являється єдиним розв’язком задачі для будь якої обмеженої .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння теплопровідності, якщо початкова температура постійна але різна для і

Користуючись формулою отримаємо

при підрахунку ми врахували наступні рівності

Для напівнескінечної прямої перша крайова задача має вид

Розв’язок має вид

дивіться [5]. Розглянути самостійно.

Поиск по сайту: