Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші

Означення. Функція y=φ() називається загальним рішеннямдиференціального рівняння n-го порядку, де – довільні константи, якщо воно є рішенням даного рівняння й будь-яке інше рішення можна одержати з даної функції шляхом відповідного вибору констант.

Припустимо, що треба знайти розв’язок рівняння який задовольняє умовам:

Такі умови називають початковими умовами, а задачу – задачею Коші. Для розв’язку задачі Коші треба знайти загальний розв’язок, а потім використовуючи початкові умови, знайти ті значення констант при яких розв’язок буде задовольняти початковим умовам.

Приклад. Точка рухається уздовж осі зі швидкістю υ(t). При t=0, точка перебуває в . Знайти положення точки в довільний момент часу.

Нехай - координата точки у довільний момент часу, тоді маємо

.

Отже . Використовуючи початкову умову отримаємо .

4. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші.

Розглянемо - задачу Коші для рівняння першого порядку.

Теорема. Нехай функція f(x,у) визначена й неперервна в області і за зміною у задовольняє умову Ліпшица: для будь-якого х і будь-яких виконується нерівність , М – константа. Тоді існує таке, що для задача Коші має єдине рішення, графік якого знаходиться в області D, причому , , ), де .

Доведення. Нехай у=у(х) розв’язок задачі Коші, тоді і інтегріруя отримаємо рівність , отже у=у(х) є рішенням інтегрального рівняння .

Навпаки, якщо у=у(х) розвязок інтегрального рівняння, то диференціруя його отримаємо, що у=у(х) – розв’язок задач Коші.

Таким чином, диференціальне рівняння й інтегральне рівняння - еквівалентні. Доведення теореми еквівалентно доведенню того, що інтегральне рівняння має рішення й воно єдине.

Розглянемо простір неперервних функцій , графіки яких з області D на цьому відрізку не виходять, на якому визначена метрика . Покажемо, що - повний простір. Нехай послідовність Коші в . З курсу аналза відомо, що збігаються до неперервно функції , . Доведемо включення , для цього треба показати, що графік не виходить з області D. Оскільки (графік в області D), то переходячи до границі при п →∞ отримаємо , , тобто .У цьому просторі розглянемо відображення: яке неперервну функцію у(х), в силу властивостей інтеграла, відображає у неперервну. З рівності | | ≤ ≤ N | | = . Маємо, що графік функції Ay не виходить за область D. Отже А: .

Доведемо, що А стискаюче відображення. Візьмемо і розглянемо ρ(Ay,Аz)= | - |≤ | |≤ | | ≤ M∙ ρ(y, z) | | ≤ , де α=М∙ h<1.

Отже відображення А є стискаючим відображенням і на підставі принципу стискаючих відображень воно має єдину нерухливу точку. Тобто, існує y(x), що є неперервною на відрізку функцією графік якої не виходить з області D, яка задовольняє рівності:

, тобто .

Значить задача Коші має єдине рішення. Теорема доведена.

Зауваження до теореми. Якщо частинна похідна обмежена на області D, то умова Ліпшица виконується.

Поиск по сайту: