АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші

Читайте также:
  1. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  2. I. Загальні положення
  3. I. Розділ Загальні основи суспільного виробництва та економічного розвитку
  4. II.2. Задача о назначениях
  5. II.4. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  6. VI. Общая задача чистого разума
  7. А. Рішення на застосування одного з перших трьох режимів радіаційного захисту
  8. Адміністративна структура БМР має три органи: загальні збори акціонерів, рада директорів і правління.
  9. Азербайджанська Республіка: загальні відомості
  10. Б. Рішення на застосування четвертого або п'ятого режимів радіаційного захисту
  11. В задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
  12. в задачах экспертного выбора.

Означення.Функція y=φ( ) називається загальним рішеннямдиференціального рівняння n-го порядку, де – довільні константи, якщо воно є рішенням даного рівняння й будь-яке інше рішення можна одержати з даної функції шляхом відповідного вибору констант.

Припустимо, що треба знайти розв’язок рівняння який задовольняє умовам:

Такі умови називають початковими умовами, а задачу – задачею Коші. Для розв’язку задачі Коші треба знайти загальний розв’язок, а потім використовуючи початкові умови, знайти ті значення констант при яких розв’язок буде задовольняти початковим умовам.

Приклад.Точка рухається уздовж осі зі швидкістю υ(t). При t=0, точка перебуває в . Знайти положення точки в довільний момент часу.

Нехай - координата точки у довільний момент часу, тоді маємо

.

Отже . Використовуючи початкову умову отримаємо .

4. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші.

Розглянемо - задачу Коші для рівняння першого порядку.

Теорема. Нехай функція f(x,у) визначена й неперервна в області і за зміною у задовольняє умову Ліпшица: для будь-якого х і будь-яких виконується нерівність , М – константа. Тоді існує таке, що для задача Коші має єдине рішення, графік якого знаходиться в області D, причому , , ), де .

Доведення.Нехай у=у(х) розв’язок задачі Коші, тоді і інтегріруя отримаємо рівність , отже у=у(х) є рішенням інтегрального рівняння .

Навпаки, якщо у=у(х) розвязок інтегрального рівняння, то диференціруя його отримаємо, що у=у(х) – розв’язок задач Коші.

Таким чином, диференціальне рівняння й інтегральне рівняння - еквівалентні. Доведення теореми еквівалентно доведенню того, що інтегральне рівняння має рішення й воно єдине.

Розглянемо простір неперервних функцій , графіки яких з області D на цьому відрізку не виходять, на якому визначена метрика . Покажемо, що - повний простір. Нехай послідовність Коші в . З курсу аналза відомо, що збігаються до неперервно функції , . Доведемо включення , для цього треба показати, що графік не виходить з області D. Оскільки (графік в області D), то переходячи до границі при п→∞ отримаємо , , тобто .У цьому просторі розглянемо відображення: яке неперервну функцію у(х), в силу властивостей інтеграла, відображає у неперервну. З рівності | | ≤ N| | = . Маємо, що графік функції Ay не виходить за область D. Отже А: .



Доведемо, що А стискаюче відображення. Візьмемо і розглянемо ρ(Ay,Аz)= | - |≤ | |≤ | | ≤ M∙ ρ(y, z) | | ≤ , де α=М∙ h<1.

Отже відображення А є стискаючим відображенням і на підставі принципу стискаючих відображень воно має єдину нерухливу точку. Тобто, існує y(x), що є неперервною на відрізку функцією графік якої не виходить з області D, яка задовольняє рівності:

, тобто .

Значить задача Коші має єдине рішення. Теорема доведена.

Зауваження до теореми.Якщо частинна похідна обмежена на області D, то умова Ліпшица виконується.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)