Рівняння n-го порядку

Нехай y =f(x, y, y′,…,y ) - рівняння n-го порядку. Розглянемо слідуючи позначення , тоді рівняння n-го порядку еквівалентно системі

.

Крім того, задача Коші для рівняння: , відповідно еквівалентна задачі Коші для системи:

, .

Теорема (існування та єдиності для рівняння n-го порядку). Нехай дана задача Коші для рівняння n-го порядку:

і функція f(x, y, y′,…,y ) визначена і неперервна як функція (n+1) – зміною в деякому околі точки (x , y , …, y ) і задовольняє умові Ліпшица по змінним, починаючи від другої, тобто

| f(x, y , )-f(x,z , )|≤N∑| |, для будь-яких (), ().

Тоді існує окіл точки x , у середині якого задача Коші має єдине рішення.

Доведення теореми зводиться до доведення теореми існування та єдиності розв’язку відповідної системи. Отже f (x, y , )=y , i=1,…,n-1, f (x, y , )=f(x, y , ). В силу умови теореми та виду f i=1,…,n-1 всі умови теореми про існування та єдиність розв’язку системи виконуються. Таким чином, задача Коші для рівняння n-го порядку має єдине рішення.

Зауваження. Умова Ліпшица буде виконуватися якщо похідні i=0,…,n-1

Поиск по сайту: