Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень

Задача. Знайти розв’язок рівняння коливань

що задовольняє граничній умові (або )

та початковим умовам .

Розглянемо спочатку ситуацію однорідної граничної умови (струна з закріпленим кінцем (або вільним кінцем)).

Для рівняння коливань на безмежній прямій справедлива лема (із формули Даламбера)

Лема. Якщо початкові дані в задачі про поширення коливань на необмеженій прямій являються непарними (парними) функціями відносно деякої точки х ₀, то відповідний розв’язок (похідна по х розв’язку) в цій точці х ₀ дорівнює 0.

За допомогою леми розв’яжемо задачу:

знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

і граничній умові .

Розглянемо функції Φ(х), Ψ(х) – що являються непарним продовженням і :

.

Функція

в силу леми, задовольняє рівностям ,

.

Розглядаючи отриману функцію тільки для отримаємо функцію, що задовольняє усім умовам поставленої задачі.

Повертаючись до функцій і можемо написати

Аналогічно розглядається ситуація з вільним кінцем (в цьому випадку і продовжують парним чином). Розглянути самостійно.

Розглянемо розв’язок рівняння при нульових початкових і довільній граничній умовах:

.

Граничний режим викликає хвилю, що поширюється впродовж струни зі швидкістю , тобто розв’язок має вигляд:

.

Визначимо з умови

,

так, що .

Але ця функція визначена лише в області , так як визначена для . Щоб знайти для всіх аргументів продовжимо на поклавши , . Тоді задана для всіх аргументів і задовольняє нульовим початковим умовам.

Розв’язок задачі:

представляється у вигляді суми розв’язків попередньої задачі та і має вигляд

.

Поиск по сайту: