Лінійні рівняння з частинними похідними

Розглянемо деякий клас рівнянь безпосередньо зв’язаний з системами звичайних диференційних рівнянь.

Припустимо, що дана система (*) та інтеграл системи.

Нехай х₁ незалежна зміна, а х₂,…,х_п+1 функції від х₁, що являються розв’язком системи. Підставляючи х₂,…,х_п+1 у ми отримаємо const, звідки слідує, що її повна похідна по х₁ зведеться до нуля, тобто

або

Оскільки х_і (і=2,…,п+1) розв’язки системи (*) то dx_i пропорційні Х_і отже зробивши заміну dx_i на Х_і отримаємо для φ наступне рівняння

Функція φ(х₁,…,х_п+1) має задовольнити цьому рівнянню незалежно від того які розв’язки ми в неї підставимо. Але в силу довільних початкових умов в теоремі існування, значення змінних х₁,…,х_п+1 може бути будь яким (якщо ми беремо всі розв’язки системи (*)), тобто φ має задовольняти рівнянню (**) тотожно відносно х₁,…,х_п+1. Отримали теорему.

Теорема 1. Якщо φ(х₁,…,х_п+1)=с інтеграл системи (*), то φ(х₁,…,х_п+1) – розв’язок рівняння (**).

Теорема 2. Якщо φ який не будь розв’язок(**), то φ(х₁,…,х_п+1)=с – інтеграл системи (*).

Доведення. Підставимо в φ(х₁,…,х_п+1) будь який розв’язок системи (*) і візьмемо повний диференціал

Оскільки х _і (і=1,…,п) розв’язок системи (*) то (λ – коефіцієнт пропорційності). Тоді

(φ – розв’язок (**)).

Тобто dφ(х₁,…,х_п+1)=0. В нашому випадку φ(х₁,…,х_п+1) (після підстановки х₂,…,х_п+1) – залежить лише від х₁, але оскільки dφ=0, то похідна φ по х₁ дорівнює 0. Інакше кажучи, після підстановки у φ розв’язку системи (*) (х₂,…,х_п+1) функція φ не залежить від х₁ тобто являється const – отже φ(х₁,…,х_п+1)=с інтеграл системи (*).

Зауваження. Якщо φ_і(х₁,…,х_п+1)=с_і і=1,…,п,-п незалежних інтегралів системи (*), то довільна функція F (φ₁,…, φ _п) – розв’язок рівняння (**).

Це безпосередньо випливає з теореми 1 і властивостей інтегралів системи.

Можна показати, що при виконанні деяких умов будь який розв’язок рівняння (**) виражається формулою F (φ₁,…, φ _п), де F – довільна, а φ₁,…, φ _п незалежні інтеграли системи.

Таким чином ми отримаємо правило розв’язання рівняння (**).Щоб знайти загальний розв’язок рівняння з частинними похідними (**), треба скласти систему звичайних диференційних рівнянь (*) та знайти п незалежних інтегралів цієї системи. Загальний розв’язок рівняння (**) буде мати вигляд φ=F (φ₁,…, φ _п+1) деF довільна функція.

Приклад. .

Відповідна система

має незалежні інтеграли

.

Загальним розв’язком початкового рівняння є .

Знайдемо вид F такий, щоб поверхня проходила через пряму x=1 y=z.

З вище вказаних рівностей х=1, у=с₁, 1+2у²=с₂,

або ,

тобто .

або

шукана поверхня.

Поиск по сайту: