АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  3. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  4. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  5. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  6. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  7. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  8. Диференціальні рівняння вищих порядків
  9. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  10. Диференціальні рівняння другого порядку
  11. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  12. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Задача знаходження фундаментальної системи рішень, а отже й загального рішення, спрощується у випадку рівняння з постійними коефіцієнтами.

Означення. Рівняння виду y +a y +…+a y=0, де а ,…,а – довільні константи, називається лінійним однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Рішення рівняння шукають у вигляді у= . Підставляючи у= у рівняння отримаємо, що k задовольняє рівнянню kⁿ+a k +…+a =0.

Означення. Рівняння kⁿ+a k +…+a =0 називають характеристичним рівнянням для даного диференціального рівняння.

Існує декілька випадків відносно розв’язка характеристичного рівняння.

1. Характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів . Розглянемо функції у = ,…, у = усі вони є рішеннями даного диференціального рівняння і лінійно незалежні, оскільки

.

Отже у = ,…, у = - фундаментальна система рішень і у=с +…+с – загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

2. Припустимо, що якийсь корінь ki дійсний, але має кратність p. Тоді – лінійно незалежна система функцій, які також являються рішеннями вихідного рівняння, що не важко перевірити підставляючи їх у рівняння, враховуючи кратність ki. Загальний розв’язок рівняння будується аналогічно 1 з урахуванням вище сказаного.

3. Припустимо, щохарактеристичне рівняння має комплексний корінь k =α+βi, тоді спряжене число k =α-βi теж корінь характеристичного рівняння. Цім кореням відповідають дві функції , в фундаментальній системі розв’язків.

Скористувавшись формулами Ейлера ці функції можна замінити на дійснозначні. Оскільки

= (cosβx+isinβx) , = (cosβx-isinβx) , то ,

, або у = cosβx , у =sinβx – рішення рівняння і лінійно незалежні. Загальний розв’язок будується аналогічно 1.

4. Якщо комплексний корінь k =α+βi має кратність p, спряжений корінь k =α-βi теж має кратність p. Тоді аналогічно випадкам 2 і 3 цім кореням відповідає система лінійно незалежних рішень рівняння:

cosβx , xcosβx ,…, cosβx , sinβx ,xsinβx ,…, sinβx , за допомогою яких і будується загальне рішення.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)