 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
Задача знаходження фундаментальної системи рішень, а отже й загального рішення, спрощується у випадку рівняння з постійними коефіцієнтами.
Означення. Рівняння виду y 
+a 
y 
+…+a 
y=0, де а ,…,а – довільні константи, називається лінійним однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами.
Рішення рівняння шукають у вигляді у= 
. Підставляючи у= у рівняння отримаємо, що k задовольняє рівнянню kⁿ+a k 
+…+a =0.
Означення. Рівняння kⁿ+a k +…+a 
=0 називають характеристичним рівнянням для даного диференціального рівняння.
Існує декілька випадків відносно розв’язка характеристичного рівняння.
1. Характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів 
. Розглянемо функції у = 
,…, у = 
усі вони є рішеннями даного диференціального рівняння і лінійно незалежні, оскільки
.
Отже у = ,…, у = - фундаментальна система рішень і у=с +…+с – загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.
2. Припустимо, що якийсь корінь ki дійсний, але має кратність p. Тоді 
– лінійно незалежна система функцій, які також являються рішеннями вихідного рівняння, що не важко перевірити підставляючи їх у рівняння, враховуючи кратність ki. Загальний розв’язок рівняння будується аналогічно 1 з урахуванням вище сказаного.
3. Припустимо, щохарактеристичне рівняння має комплексний корінь k =α+βi, тоді спряжене число k 
=α-βi теж корінь характеристичного рівняння. Цім кореням відповідають дві функції , 
в фундаментальній системі розв’язків.
Скористувавшись формулами Ейлера ці функції можна замінити на дійснозначні. Оскільки
= (cosβx+isinβx) 
, 
= (cosβx-isinβx) , то 
,
, або у = cosβx , у =sinβx – рішення рівняння і лінійно незалежні. Загальний розв’язок будується аналогічно 1.
4. Якщо комплексний корінь k =α+βi має кратність p, спряжений корінь k =α-βi теж має кратність p. Тоді аналогічно випадкам 2 і 3 цім кореням відповідає система лінійно незалежних рішень рівняння:
cosβx , xcosβx ,…, 
cosβx , sinβx ,xsinβx ,…, sinβx , за допомогою яких і будується загальне рішення.
Поиск по сайту: