Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс

Розглянемо процес коливання пружинного маятника масою m, якщо коефіцієнт пружності пружини k. Треба знайти координату маятника х(t), що залежить від часу. З механіки відомо, що в будь-який момент часу на маятник діє дві сили і (сила супротиву), також , тобто х(t) задовольняє рівнянню + =0, або . Характеристичне рівняння має вид , отже загальне рішення x(t)=c cos +c sin = = , при , , .

Зауважимо, що r називають амплітудою коливання, - власною частотою коливання, - початкова фаза коливання. З рішення видно, що власна частота коливання не залежить від початкових умов , а залежить тільки від k і m. Початкові умови впливають на амплітуду і початкову фазу коливання.

Якщо на маятник діє додаткова сила f(t), то і рівняння прийме вигляд . Розглянемо випадок гармонічного осцилятора, тобто коли , де - константи.

Припустимо,що . Згідно зі сказаним раніше, , де , , що не важко перевірити підставляючи в рівняння. Отже і амплітуда коливання буде зростати з наближенням до (частоти збуджуючої сили до власної частоти маятника).

Якщо розглядати випадок (оскільки i - розв’язок характеристичного рівняння), то загальний розвязок рівняння буде мати вигляд , де деякі константи. З виду х(t) зрозуміло, що амплітуда коливання буде необмежено зростати з перебігом часу. Це явище називають резонансом.

Поиск по сайту: