АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод розділення змінних

Читайте также:
  1. A. Выявление антигенов вируса в мокроте методом ИФА.
  2. D. Генно-инженерным методом
  3. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  4. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  5. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  6. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  7. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  8. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  11. I. Методические основы
  12. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов

Розглянемо задачу для скінченої струни.

Спочатку знайдемо розв’язок наступної крайової задачі

Розв’яжемо допоміжну задачу: знайти розв’язок такий, що ,

і постає у вигляді .

Підставивши у рівняння отримаємо

або

Для і Т отримаємо звичайні диференційні рівняння:

Граничні умови дають Звідки .

Таким чином, для знаходження треба розв’язати задачу про власні значення.

Знайти ті , при яких існує розв’язок задачі:

Сформульована задача називається задачею Штурма-Лиувилля.

1. При

, тобто і , отже .

2. При

1. При

тобто нетривіальний розв’язок можливий при . Отже при де Ап – довільна константа.

Цим же значенням відповідає розв’язок рівняння

, де - довільні коефіцієнти.

Тоді, повертаючись до початкової здачі отримаємо, що функція

- частинні розв’язки рівняння, що задовольняють нульвим граничним умовам.

Для знаходження розв’язку початкової крайової задачі зазначимо, що в силу лінійності рівняння, - задовольняє рівнянню і нульовим граничним умовам, отже

. Знайдемо і враховуючи початкові умови.

, тобто

.

Зауваження 1.Звісно є розв’язком коли відповідні ряди для збігаються. В силу властивостей коефіцієнтів Фур’є всі ряди (для ) у загальному випадку сходяться, якщо має частково-неперервну похідну 3-го порядку, а має частково-неперервну похідну 2-го порядку і і значить – коректно визначений розв’язок, що задовольняє теорему єдиності.

Зауваження 2. - власні частоти коливань струни, або оскільки то (Т – величина натягу, - щільність струни).

- основний тон, решта - обертони. Приведені формули визначають частоту і, відповідно, період основного коливання, пояснюють наступні закони коливання струни, відкриті вперше експериментально (Мерсен)

1. Для струн однакової щільності і однакового натягу період коливання струни пропорційно її довжині.

2. При заданій довжині період змінюється обернено пропорційно кореню квадратному з натягу.

3. При заданій довжині і натягу період змінюється пропорційно кореню квадратному з щільності.

Більш детально про додатки до теорії звуку дивіться [5].

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.)