Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку

Означення. Рівняння виду a (x)y + a (x)y +…+a (x)y=f(x) називається лінійним рівнянням n-го порядку.

Якщо f(x)=0, то говорять, що рівняння є лінійне однорідне рівняння n-го порядку

.

Однорідні лінійні рівняння будемо записувати у вигляді (котрий легко отримати з вихідного рівняння після ділення його на )

y +p (x) y +…+p (x)y=0.

Теорема. Нехай функції p (x) визначені та неперервні на [a;b], тоді, для лінійного однорідного рівняння, довільна задача Коші на області [a;b] має єдине рішення.

Доведення. Відповідна функція, що фігурує у теоремі існування та єдиності розв’язку рівняння n-го порядку, має вигляд:

F(x, y, y′,…y )=-p (x) y -…-p (x)y. З умови теореми вона неперервна і = p (x) обмежені, оскільки неперервні на [a; b], що гарантує виконання умови Ліпшица для F. Отже ствердження теореми випливає з теореми існування та єдиності для загальних рівнянь n-го порядка.

Розглянемо властивості рішень лінійних однорідних рівнянь. Для скорочення запису введемо позначення Ly = y +p (x) y +…+p (x)y, де L – лінійний оператор, що випливає з властивостей похідної, тоді однорідне лінійне рівняння має вигляд Ly=0.

Теорема. Нехай y і y – довільні рішення однорідного лінійного рівняння, тоді:

1) для кожного с є R¹, сy – рішення однорідного лінійного рівняння,

2) y + y є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Доведення. Доведення випливає з властивостей лінійного оператора, тобто L (сy ) =сLy =0, L (y +y ) = Ly +Ly =0.

Наслідок. Нехай y ,…,y –довільні рішення лінійного однорідного рівняння, тоді їхня лінійна комбінація α …α є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Поиск по сайту: