АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Постановка крайової задачі

Читайте также:
  1. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  2. II. 1.1. Общая постановка задачи
  3. V. Постановка эпидемиологического диагноза.
  4. А. Постановка транспортной задачи.
  5. ВКАЗІВКИ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
  6. Глава IV. Теории детского развития первой трети XX в.: постановка проблемы факторов психического развития
  7. Глава VII. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ)
  8. Загальна постановка задачі в багатокритеріальних системах
  9. Задача постановка метод алгоритм
  10. Задачі.
  11. Задачі.
  12. Задачі.

Рівняння коливання струни, стержня, мембрани, а також гідродинаміки і акустики, в загальному вигляді має вид

.

Як і в випадку звичайних рівнянь, воно має безкінечне число розв’язків. Тому, у випадку реального фізичного процесу, для єдиності розв’язку, що характеризує процес, необхідні додаткові умови. Ці умови складаються з граничних і початкових умов.

Розглянемо ситуацію на прикладі коливання струни. Так процес коливання струни залежить від її початкової форми і розподілу швидкостей, тобто початкові умови слід задавати у вигляді:

Що до граничних умов, то можна говорити про три основні типи:

1. гранична умова першого роду (задано режим);

2. гранична умова другого роду (задано силу);

3. гранична умова третього роду (пружне закріплення).

Аналогічно задається гранична умова і на другому кінці .

Комбінуючи різні граничні умови ми отримаємо 6 типів крайових задач.

Сформулюємо першу крайову задачу для гіперболічних рівнянь:

 

Знайти , визначену в області , , що задовольняє рівняння

для , ;

граничним умовам:

;

і початковим умовам:

, .

Якщо на обох кінцях береться гранична умова другого або третього роду, то відповідна задача називається другою або третьою крайовою задачею. У випадку коли граничні умови при х=0 і х= мають різні типи, крайова задача називається мішаною.

При умові, що вплив граничних умов в точці , розміщеної достатньо далеко від кінців, буде мати місце через великий проміжок часу, а ми розглядаємо явище в продовж малого проміжку, то задачу можна розглядати як граничну задачу лише з початковими умовами.

Знайти розв’язок рівняння з початковими умовами

.

Цю задачу називають задачею Коши.

Якщо явище розглядається поблизу однієї границі і вплив граничної умови на другій границі не сутьтево то ми приходимо до задачі на напівпрямій , коли треба знайти розв’язок рівняння задовольняючого умовам

.

Нарешті, коли характер явища, для моментів часу, достатньо віддалених від початкового моменту , визначається граничними умовами, (так як вплив начальних умов, завдяки тертю, слабшає) то такі ситуації приводять до задачі без початкових умов, тобто:

знайти розв’язок для і при граничних умовах



.

2.Теорема єдиності розв’язку.

При розв’язанні крайових задач:

1. треба переконатись в єдиності розв’язання – це досягається доведенням теореми єдиності;

2. треба переконатись в існуванні розв’язку, що зазвичай зв’язано з методом знаходження розв’язків.

Розглянемо теорему єдиності.

Теорема.Можливе існування тільки однієї функції визначеної на області , що задовільняє рівнянню

,

початковим і граничним умовам

,

якщо виконуються наступні умови:

1. функція та похідні, що входять в рівняння, а також похідна неперервні на проміжку при ;

2. і - неперервні на проміжку .

Доведення.Припустимо що існує два розв’язка і , тоді задовольняє однорідному рівнянню

,

однорідним умовам

та умовоі 1 теореми.

Покажемо, що . Розглянемо функцію

(повна енергія струни в момент часу t ).

Інтегруючи частинами перший доданок правої частини, отримаємо

.

Враховуючи граничні і початкові умови на отримаємо

(оскільки задовольняє однорідному рівнянню), тобто .

Враховуючи початкові умови отримаємо

, так як .

Користуючись додатністю і заключаємо що і звідки і витікає тотожність , але , тобто .

Таким чином .

Зауваження.Доведення теореми єдиності другої і третьої крайових задач практично не відрізняється від приведеного, що стосується теореми єдиності для задачі Коши і задач без початкових умов то доведення їх можна знайти к книзі [5].

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)