Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка

Теорема (Остроградського – Ліувілля). Нехай дано однорідне рівняння

y +p (x)y +…+p (x)y=0, де p …p –неперервні на [a;b] і (y ,…,y ) –фундаментальна система рішень, тоді справедлива формула W(х)=с , (с – довільна константа), або W(х)= W( ) .

Доведення. Враховуючи властивості визначника і диференціювання, а також той факт, що y ,…,y є рішення даного рівняння, отримаємо

.

Отже, визначник Вронского задовольняє наступне рівняння W′ = - p (x)W. Розв’язуючи яке будемо мати W(x) = с , або W(x) = W( )с .

Зауваження. Розглянемо y′′+p (x)y′+p (x)y=0 – рівняння другого порядку, тоді, якщо у - будь-який розв’язок рівняння, то можна знайти загальне рішення в такий спосіб. Нехай у - загальне рішення, розглянемо рівність

.

Отже, відносно у отримаємо рівняння першого порядку yy′ - y′y =c , розв’язуючи яке знайдемо загальний розв’язок вихідного рівняння.

Приклад. y′′+y′ - =0. За допомогою підстановки легко довести, що y=x рішення рівняння. Відповідне рівняння для загального рішення даного рівняння має вид y -y′x = – лінійне рівняння першого порядку. Для його розв’язку знайдемо розв’язок рівняння y′x=y або . Отже y=cx. Загальний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді y=c(x) x, де c(x) невідома функція. Підставляючи цей y у рівняння отримаємо

c′x²+c(x) x – c(x) x+ =0, тобто c′= . Отже c(x) = dx і y= dx.

Зауваження. Аналогічно можна застосовувати формулу і у випадку рівняння n-го порядку коли відомі будь-які незалежні рішення рівняння, що буде приводити до зниження порядка рівняння на 1.

Поиск по сайту: