Однорідні рівняння

Означення. Рівняння виду y′=f () називається однорідним рівнянням.

Теорема. Нехай функція f(u) неперервна на [a;b] і для кожного u з [a;b] f(u)- u≠0. Тоді задача Коші для рівняння y′=f () має єдине рішення на області

Доведення. Розглянемо заміну u = , y=ux тоді y′=u′x+u і підставляючи у рівняння отримаємо рівняння відносно u=u(x) u′x+u=f (u), або u′x=f (u)-u.

Згідно з попередньою теоремою рівняння u′x=f (u)-u має єдине рішення, що і доводить теорему.

Приклад. Розв’язати xy′=y+xtg().

Розв’язок. Оскільки y′=() +tg(), то роблячи заміну =u; y=ux; y′=u′x+u, отримаємо u′x+u=u+tgu або = Інтегруючи рівність маємо ln|sin u|= ln|x|+ln c, c>0, sin u=cx, c 0, або sin =cx, c 0. Оскільки, якщо tgu=0, то u=k , або у=k х – є розвязок рівняння, то він попадає у загальне рішення sin =cx, якщо с=0. Отже загальне рішення рівняння sin =cx, .

Поиск по сайту: