Системи лінійно незалежних функцій

Означення. Функції y ,…,y називаються лінійно залежними на множині Х, якщо існує набір чисел α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, таких, що α +…+α ≡0 для будь-яких х є Х.

Якщо це визначення не виконується, то функції y ,…,y називаються лінійно незалежними.

Приклад (лінійно незалежних). Функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні. Якщо допустити, що вони залежні, то (не всі рівні 0) такі, що α +α х…+α х 0 для всіх х є [a;b], а це протиріччя основної теореми алгебри. Значить функції 1,х,...,х на [a;b] лінійно незалежні.

Теорема. Нехай дана система лінійно залежних функцій y ,…,y на множині Х. Тоді визначник Вронского:

на множині Х.

Доведення. Оскільки y ,…,y лінійно залежні то існує набір α …α , не всі з яких дорівнюють нулю, для яких виконується тотожність , тоді y ,…,y задовольняють системі

, для будь-якого х є Х.

Система відносно (α …α ) має не тривіальне рішення для будь-якого х є Х. Таким чином, з курсу алгебри маємо, що W(х)=0, х є Х.

Теорема. Нехай y ,…,y –лінійно незалежна система рішень однорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=0 такого, що – визначені і неперервні на [a;b]. Тоді для будь-якого х є [a;b] визначник Вронского відмінний від нуля W(х) 0.

Доведення. Припустимо противне, що в деякій точці x є[a;b] W(х )=0. Візьмемо функцію у= , де α …α –довільні константи, тоді у - рішення даного рівняння.

Розглянемо систему:

Для даної системи W(х )=0, виходить, система має нетривіальне рішення, тобто існує набір α …α , для якого не всі α дорівнюють нулю і такий, що задовольняє системі. Розглянемо у, коли в якості (α …α ) узято указане нетривіальне рішення системи, тоді маємо

.

Таким чином, у= є нетривіальним рішенням рівняння з нульовими початковими умовами у точці . Зазначимо, що функція у 0 задовольняє нульовим початковим умовам і рівнянню. Оскільки коефіцієнти рівняння задовольняють теоремі про існування та єдиності рішення, то у= , що протирічить лінійній незалежності таким чином наше припущення не вірно, тобто W(х) 0 для будь-якого х є [a;b].

Теорема. Нехай дане лінійне однорідне рівняння: y +p (x) y +…+p (x)y=0, де p …p –визначені і неперервні на [ a;b ], –лінійно незалежна система рішень даного рівняння, тоді у=с +…+с , де с – довільні константи, є загальним рішенням даного рівняння.

Доведення. Зразу відмітимо, що згідно властивостей рішень лінійного однорідного рівняння у=с +…+с - рішення рівняння. Покажемо, що рішення будь-якої задачі Коші для даного рівняння можна отримати з рішення у=с +…+с , якщо взяти відповідні значення с . Нехай в будь-якій точці є[a;b] задані довільні початкові умови

.

Підставляючи замість у його значення, отримаємо

Визначник даної системи є визначник Вронского і W( ) 0, в силу попередньої теореми, отже система має нетривіальне рішення, підставляючи яке в у одержимо шукане рішення задачі.

Наслідок. Лінійне однорідне рівняння n-го порядку має n-лінійно незалежних рішень.

Означення. Будь-який набір з n-лінійно незалежних рішень лінійного однорідного рівняння називається фундаментальною системою рішень.

Поиск по сайту: