АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Класифікація рівнянь

Читайте также:
  1. Аксіома про потенційну небезпеку. Класифікація небезпек
  2. Будова та класифікація білків
  3. Бюджет, його доходи і видатки. Бюджетна класифікація
  4. Види податків і податкових платежів та їх класифікація
  5. Визначення групи кредитних операцій за станом обслуговування позичальником боргу за ними. Класифікація кредитного портфеля
  6. Випадкові події. Класифікація подій
  7. ГІГІЄНІЧНА КЛАСИФІКАЦІЯ ПРАЦІ
  8. Гігієнічна класифікація умов праці
  9. Гранично допустима концентрація шкідливих речовин. Класифікація шкідливих речовин за ступенем впливу на організм людини
  10. Джерела дисципліни і їх класифікація.
  11. Документи, їх призначення і класифікація
  12. Екологічні фактори, їх класифікація та основні закони дії факторів

За допомогою перетворень ξ=φ(х,у) η=ψ(х,у) (що має обернене) ми отримаємо нове рівняння еквівалентне даному. Спробуємо спростити рівняння за допомогою переходу до нових змінних.

Враховуючи що:

ux=u ξ ξx+u η ηx

uy= u ξ ξy+u η ηy

uyy – має вигляд uхх при заміні х на у.

Підставивши в рівняння (*), отримаємо:

при цьому як і не залежать від других похідних (в випадках лінійного рівняння воно залишається лінійним).

Виберемо ξ та η, щоб .

Розглянемо рівняння з частковими похідними першого порядку . Якщо - який-небудь розв’язок цього рівняння, то припускаючи отримаємо, що , тобто спрощене рівняння другого порядку зв’язано з розв’язком рівняння першого порядку.

Теорема.Якщо розв’язок рівняння (**) , то - загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння .

Навпаки, якщо загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння, то функція - розв’язок диференційного рівняння в часткових похідних першого порядку (**).

Доведення.Якщо - розв’язок рівняння (**), то рівність являється тотожністю:

Розглядаючи співвідношення маємо, що у – неявно задана функція і .

Підставивши в тотожність отримаємо:

,

тобто - загальний інтеграл вказаного звичайного диференційного рівняння.

Нехай тепер - загальний інтеграл звичайного диференційного рівняння. Покажемо, що .

Нехай яка-небудь точка. Проведемо через інтегральну криву звичайного диференційного рівняння, припускаючи що і розглянемо криву . Для всіх точок цієї кривої

.

Припускаючи що отримаємо

, а оскільки - довільна точка то рівність виконується для всіх (х,у). Що і треба було довести.

Означення.Рівняння називається характеристичним для диференційного рівняння другого порядку в частинних похідних, а його інтеграли – характеристиками.

Припустимо (φ – загальний інтеграл характеристичного рівняння) ми отримаємо, що . Якщо являється іншим загальним інтегралом (незалежним від φ), то припускаючи що ми отримаємо, що і .

Очевидно, що характеристичне рівняння розпадається на два рівняння

(***)

.

Знак підкорінного виразу визначає тип рівняння

.

1. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням гіперболічного типу.



2. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням еліптичного типу.

3. Якщо в точці М(х,у), то рівняння називається рівнянням параболічного типу.

Розглянемо кожну ситуацію окремо.

1. , тоді праві частини (***) дійсні і різні. Розв’язуючи рівняння (***) отримаємо незалежні загальні інтеграли та . Припускаючи приводимо рівняння другого порядку до виду .

Припускаючи , де нові змінні і враховуючи, що , , рівняння набуває вигляду .

2. , тоді рівняння (***) має один розв’язок . Покладемо та - довільна функція. Тоді

.

Таким чином, рівняння другого порядку прийме вид .

3. . Нехай - комплексний інтеграл першого рівняння (***). Тоді - інтеграл спряженого рівняння 2 з (***). Покладемо

тоді еліптичне рівняння приводяться до того ж виду що й гіперболічне. Замінимо тобто . Вводячи заміну, отримаємо рівняння .

Отже, рівняння другого порядку у частинних похідних з двома змінними (за допомогою заміни незалежних змінних) завжди можна привести до одного з трьох канонічних виглядів:

1. (гіперболічний тип) або

2. (еліптичний тип)

3. (параболічний тип)

Зауваження. Подібна класифікація має місце і для рівнянь другого порядку з багатьма змінними.

Приклад. Привести до канонічного виду .

а11=1, а12=0, а22і .

1. Якщо х>0 рівняння еліптичне.

2. Якщо х<0 рівняння гіперболічне.

3. Якщо х=0 рівняння параболічне.

1. х>0,

. Отже .

Тоді і

,


Підставивши в рівняння отримаємо:

, або

- еліптичне рівняння

2. х=0 у=с. Отже .

Тоді - довільна і

,

Рівняння прийме вид (після заміни)

х=0), - параболічне рівняння.

Випадок 3 аналогічний 1.

Зауваження.У випадку постійних коефіцієнтів в лінійному рівнянні

після переходу до змінних ξ, η рівняння, якого б виду воно не було, можна спростити, звільнившись від похідних першого порядку, за допомогою заміни де - невизначені коефіцієнти, вибираючи які відповідним чином, (щоб знищити 2 коефіцієнти), отримаємо рівняння виду:

‡агрузка...

(еліптичне)

(параболічне)

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)