АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона

Читайте также:
  1. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  2. II.2. Задача о назначениях
  3. II.4. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. VI. Общая задача чистого разума
  5. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты (Пуассона). Коэффициент Пуассона.
  6. Беларусь i войны РП з Расiяй у першай трэцi ХVII ст.
  7. В задачах 13.1-13.20 даны выборки из некоторых генеральных совокупностей. Требуется для рассматриваемого признака
  8. в задачах экспертного выбора.
  9. В) Задача
  10. В) Задача
  11. В) Задача
  12. В) Задача

Розглянемо задачу.

Знайти функцію , що задовольняє рівнянню всередині (або за межами) круга і граничній умові на границі круга радіуса a.

Переходячи до полярної систему координат з початком у центрі кола отримаємо рівняння, в полярних координатах у вигляді

.

Розв’язок шукається методом розділенням змінних .

Підставляючи до рівняння отримаємо або

.

Звідси . Враховуючи періодичність і , - періодична, а це можливо тільки якщо , тобто .

Функцію розшукують у вигляді . Підставляючи в рівняння і скорочуючи на , знайдемо або . Отже

Розв’язок: для (внутрішня задача) мають вигляд

(, так як при функція необмежена і не буде гармонійною), і для (зовнішня задача) (, так як при функція необмежена).

Звідси (внутрішня задача)

(зовнішня задача).

Для визначення і користуються граничними умовами .

Остаточно будемо мати (внутрішня задача)

Для зовнішньої задачі .

Отримані формули можна спростити. Для внутрішньої задачі розглянемо більш детально ситуацію.

.
Для зовнішньої задачі отримаємо .

Отримані інтеграли називаються інтегралами Пуассона.

Відзначимо, що інтеграл Пуассона дає розв’язок крайової задачі для кусочно неперервної функції (дивіться [5]).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)