Системи звичайних диференційних рівнянь

Розглянемо систему

Нехай загальне рішення системи. Щоб виділити з загального рішення розв'язок, який задовольняє початковим даним , треба знайти с_і з рівнянь . У випадку, коли виконані умови теореми існування і єдиності розв’язку, вказані рівняння розв’язувані відносно с_і та загальне рішення може бути записано у вигляді

(і=1,…,п)

Означення. Співвідношення називається інтегралом системи якщо функція φ відрізняється від постійної і при підстановці в неї будь якого розв’язку у_і=ψ_і(х) (і=1,…,п) системи вонаперетворюється в постійну.

Припустимо, що ми маємо декілька інтегралів системи , і=1,…,k (k – число інтегралів ). Якщо взяти довільну функцію F(φ₁,…,φ_к), то вона перетвориться в const при підстановці замість у₁,…,у_п будь якого розв’язку системи, тобто ми отримаємо інтеграл системи

F(φ₁,…,φ_n)=c.

Нехай ми маємо п інтегралів і=1,…,п. Вони називаються незалежними, якщо ці рівності розв’язувані відносно п змінних (умовно у₁,…,у_п). Таким чином ми отримуємо загальній розв’язок системи.

Запишемо ситуацію в більш симетричному вигляді. Вихідну систему можна записати у вигляді пропорціонального ряду.

Помножимо всі рівності на пропорційний множник (у першому співвідношенні у знаменнику зникне 1) та змінюючи, для симетрії, позначення змінних на х _і будемо мати , Х_і – функції від х₁,…,х_п+1

Якщо (і=1,…,п) система п незалежних інтегралів системи, то з них можна отримати загальний розв’язок системи, тобто розв’язати систему – значить знайти п незалежних інтегралів.

Приклад.

, , тобто

або , у=с₁х.

або

, інтегруючи отримаємо

або (замінивши )

Ми отримали два незалежний інтеграла системи , отже система розв’язана.

Поиск по сайту: