Рівняння з розділеними змінними

Означення. Рівняння виду y′=f(x)φ(у) називається рівнянням з розділеними змінними, де f(x) залежить тільки від змінної х, а φ(у) – від змінної у.

Теорема. Нехай функція f(x) визначена та неперервна на відрізку , функція φ(у) визначена та неперервна на відрізку і для будь-якого . Тоді для будь-якої точки () задача Коші: , має єдине рішення в області D.

Доведення. Нехай у(х) розв’язок задачі Коші. Підставляючи його у рівняння отримаємо рівність яка еквівалентна , або = f(x) dx. Інтегруючи останню рівність отримаємо рівність . Нехай тепер у(х) розв’язок рівняння тоді підставляючи його у рівняння отримаємо тотожність , диференціруючи яку отримаємо = f(x) dx або .Таким чином, диференціальне й інтегральне рівняння - еквівалентні. Отже Задача Коші для довільної точки із прямокутника [a;b]х[c;d] має єдине рішення .

Приклад. Знайти загальний розв’язок .

Розв’язок. Вихідне рівняння еквівалентно , . Інтегруючи маємо або ln|y|= ln|x|+ln c, c>0. Отже ln|y|= ln c|x|, c>0 і |y|= c|x|, c>0, або y=cx, . Враховуючи, що у=0 теж розв’язок, то y=cx, - загальний розв’язок.

Поиск по сайту: