АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рівняння з розділеними змінними

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  11. Диференціальні рівняння першого порядку з
  12. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

Означення. Рівняння виду y′=f(x)φ(у) називається рівнянням з розділеними змінними, де f(x) залежить тільки від змінної х, а φ(у) – від змінної у.

Теорема.Нехай функція f(x) визначена та неперервна на відрізку , функція φ(у) визначена та неперервна на відрізку і для будь-якого . Тоді для будь-якої точки ( ) задача Коші: , має єдине рішення в області D.

Доведення.Нехай у(х) розв’язок задачі Коші. Підставляючи його у рівняння отримаємо рівність яка еквівалентна , або = f(x) dx. Інтегруючи останню рівність отримаємо рівність . Нехай тепер у(х) розв’язок рівняння тоді підставляючи його у рівняння отримаємо тотожність , диференціруючи яку отримаємо = f(x) dx або .Таким чином, диференціальне й інтегральне рівняння - еквівалентні. Отже Задача Коші для довільної точки із прямокутника [a;b]х[c;d] має єдине рішення .

Приклад. Знайти загальний розв’язок .

Розв’язок. Вихідне рівняння еквівалентно , . Інтегруючи маємо або ln|y|= ln|x|+ln c, c>0. Отже ln|y|= ln c|x|, c>0 і |y|= c|x|, c>0, або y=cx, . Враховуючи, що у=0 теж розв’язок , то y=cx, - загальний розв’язок.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.691 сек.)