Вирішення диференційних рівнянь символічній формі

Для символічного вирішення диференційних рівнянь застосовується команда dsolve. При записі диференційних рівнянь у команді dsolve перша похідна позначається літерою D, друга D2, третя D3, і т.д. Запис D2y відповідає .

Початкові умови записують за допомогою окремих рівнянь. Якщо початкові умови не задані, в розв’язок будуть входити постійні інтегрування.

Розглянемо приклад. Нехай задане диференційне рівняння першого порядку

Команда dsolve буде мати наступний вигляд

syms t y

s=dsolve('Dy=2*y+t')

У результаті на екрані з’явиться наступне

s =

(C3*exp(2*t))/4 - t/2 - 1/4

Якщо відомі початкові умови, наприклад , то запис команди dsolve зміниться

syms t y

s=dsolve('Dy=2*y+t', 'y(0)=2')

Тоді у розв’язку вже не буде постійних інтегрування

s =

(9*exp(2*t))/4 - t/2 - 1/4

Якщо задане нелінійне диференційне рівняння, наприклад

із заданими початковими умовами , воно вирішується символічно наступним чином

syms x

s=dsolve('(Dx+x)^2=1', 'x(0)=0')

У результаті розв’язок буде наступним

s =

1/exp(t) - 1

1 - 1/exp(t)

Диференційні рівняння другого порядку і вище мають містити в собі позначення вищих похідних D2, D3 і т.д., наприклад рівняння

із заданими початковими умовами , вирішується наступним чином

syms x y

s=dsolve('D2y=cos(2*x)-y', 'y(0)=1', 'Dy(0)=0', 'x')

Запис 'x' означає, що відбувається диференціювання по змінній x, а не по t.

У результаті виконання команди на екрані з’явиться наступне

s =

(4*cos(x))/3 + cos(x)*(cos(3*x)/6 - cos(x)/2) +

sin(x)*(sin(3*x)/6 + sin(x)/2)

Розглянемо диференційне рівняння третього порядку

,

з початковими умовами , , .

Для вирішення цього рівняння потрібно записати наступне

syms x u

s=dsolve('D3u=u', 'u(0)=1', 'Du(0)=-1', 'D2u(0)=pi','x');

d=subexpr(s)

Результат буде наступним

sigma =

(3^(1/2)*x)/2

d =

(pi*exp(x))/3 - (cos(sigma)*(pi/3 - 1))/exp(x/2) –

(3^(1/2)*sin(sigma)*(pi + 1))/(3*exp(x/2))

Запис 'D3u' означає третю похідну , а 'D2u(0)=pi' початкову умову .

Поиск по сайту: