Приклади побудови структурних схем для вирішення диференційних рівнянь другого порядку

Розглянемо приклад складання структурної схеми для диференційного рівняння другого порядку. Нехай задане рівняння має наступний вигляд

з початковими умовами , .

Перетворимо це рівняння у зручний вигляд для побудови структурної схеми. Старша похідна залишається зліва, всі інші доданки – справа. Таким чином, рівняння матиме наступний вигляд

.

Так як це диференційне рівняння другого порядку, потрібно використати два інтегратора, з’єднані послідовно, як зображено на рис. 7.73.

Рис. 7.73. Початок створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння другого порядку

Методика подальшого складання структурної схеми аналогічна попередній. Для формування масиву часу застосований блок Clock, що множиться на 2 за допомогою блоку Gain та подається на блок Trigonometric Function для отримання сигналу . Структурна схема для вирішення диференійного рівняння другого порядку зображена на рис. 7.74.

Рис. 7.74. Структурна схема для вирішення диференційного рівняння другого порядку

Початкові умови та задаються у блоках Integrator та Integrator1. Програма для побудови графіків розв’язків та буде мати наступний вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(2,1,1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t,y,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y');

title('Графік рішення диференційного рівняння другого порядку');

grid; %активація сітки

subplot(2,1,2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t,y1,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

Графіки залежностей та показані на рис.7.75.

Рис. 7.75. Графік вирішення диференційного рівняння другого порядку

На основі вищевикладеної методики можна складати структурні схеми для вирішення диференційних рівнянь будь-якого порядку з заданими початковими умовами або без них.

Будь-яка похідна у диференційному рівнянні може містити нелінійність, що перетворює його на нелінійне. Розглянемо приклад вирішення такого рівняння.

Нехай задано нелінійне диференційне рівняння третього порядку вигляду

.

Воно містить квадрат другої похідної. Також можна побачити, що у рівнянні відсутня складова з першою похідною. Це спрощує структурну схему, тому що буде відсутній один доданок.

Методика складання структурної схеми не відрізняється від попередньої, окрім того що потрібно піднести другу похідну до квадрату за допомогою блоку Product.

Структурна схема для вирішення цього рівняння показана на рис. 7.76.

Рис. 7.76. Структурна схема для вирішення нелінійного диференційного рівняння третього порядку

Програма для виводу графіків на екран матиме вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(2,2,1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t,y,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y');

grid; %активація сітки

subplot(2,2,2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t,y1,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

subplot(2,2,3); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t,y2,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y’’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

subplot(2,2,4); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t,y3,'b-','LineWidth',2); %побудова графіка y’’’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

Графіки залежностей , , та показані на рис.7.77.

Рис. 7.77. Графіки вирішення нелінійного диференційного рівняння третього порядку

Література: [2], стор. 171-177.

Завдання на СРС: Побудувати структурну схему для вирішення диференційного рівняння четвертого порядку.

Література: [2], стор. 178-179.

Контрольні запитання

1. Наведіть послідовність створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння першого порядку.

2. Які параметри потрібно заносити до структурної схеми та у які блоки, якщо задані початкові умови диференційного рівняння?

3. Як вивести графіки розв’язків рівняння за допомогою М-файлів?

4. Як воводяться масиви розв’язків диференційних рівнянь у робочу область MatLab?

5. Наведіть послідовність створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння другого порядку.

6. Як враховувати нелінійність у диференційних рівняннях? Наведіть приклад структурної схеми нелінійного диференційного рівняння.

7. Наведіть загальну методику складання структурних схем для розв’язку будь-яких диференційних рівнянь.

8. Якщо початкові умови не задані, чи потрібно це враховувати при створення структурної схеми для розв’язку диференційних рівнянь?

Лекція 15

Поиск по сайту: