Економетрична модель, що будується на основі системи рівнянь, крім регресійних функцій, може включати тотожності

Побудова будь-якої економетричної моделі, незалежно від того, на якому рівні і для яких показників вона будується, здійснюється як послідовність певних кроків.

Крок 1. Знайомство з економічною теорією, висунення гіпотези взаємозв'язку. Чітка постановка задачі.

Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі ті форми функцій, які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв'язків, необхідно сформулювати теоретичні уявлення і прийняті гіпотези у вигляді математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв'язки між основними визначальними змінними за припущення, що всі ін­ші змінні є випадковими.

Крок 3. Формування масивів вхідної інформації згідно з метою та завданнями дослідження.

Крок 4. Оцінка параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів. Аналіз залишків дає змогу відповісти на запи­тання: чи не суперечить специфікація моделі передумовам «класич­ної» моделі лінійної регресії?

Крок 5. Якщо деякі передумови моделі не виконуються, то для продовження аналізу треба замінювати специфікацію або застосову­вати інші методи оцінювання параметрів.

Крок 6. Проведення аналізу достовірності моделі та прогнозу за побудованою моделлю.

Рис.1. Етапи побудови моделі

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів — теоре­тичного, якісного аналізу взаємозв'язків та емпіричної інформації. Тео­ретична інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі.

Специфікація моделі — це аналітична форма економет­ричної моделі На основі досліджуваних чинників вона складається з певного виду функції чи функцій, що вико­ристовуються для побудови моделей, має ймовірнісні ха­рактеристики, які притаманні стохастичним залиш­кам моделі.

Лінійні функції найпоширеніші в економетричному моделюван­ні, тому обґрунтування економетричних методів розглянемо на базі лінійних моделей.

Вибір аналітичної форми економетричної мо­делі не може розглядатися без конкретного переліку незалежних змін­них, тому специфікація моделі передбачає відбір чинників для економетричного дослідження.

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів по­вертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незале­жних змінних та вид функції, що застосовується. Адже, коли вид функції та її складові не відповідають реальним процесам, то йдеть­ся про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування при побудові економетричної моделі істотної по­яснюючої змінної;

2) введення в модель незалежної змінної, яка не є істотною для
вимірюваного зв'язку;

3) використання невідповідних математичних форм залежності.
Перша з цих помилок призводить до зміщення оцінок, причому

зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та невведеними до моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не введеними змінними. Оцінки парамет­рів також будуть зміщеними (у такому разі вони вищі), тому засто­сування способів перевірки їх значущості може спричинитися до хибних висновків щодо значень параметрів генеральної сукупності.

Для відшукання цього джерела помилок специфікації досить важко запропонувати які-небудь загальні міркування, оскільки неза­лежна змінна, що не враховується (або незалежні змінні), може бути одним із багатьох можливих пояснень. Про необхідність введення до моделі цих незалежних змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з'ясувати, наскільки істотним є введен­ня до моделі якої-небудь змінної. Так, якщо побудувати економетричну модель на базі покрокової регресії (метод покроко­вої регресії розглянемо пізніше), то можна досить чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поводження випадково­го відхилення у помилково специфікованій моделі.

Друга помилка специфікації. У цьому разі, якщо до моделі вво­диться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на від­міну від першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна одержати також незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок «неістотних» змінних. По-перше, існує не-нульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв'язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв'язок між змінними буде виміряний неправильно.

Третя помилка специфікації. Припускається, що залежна змін­на є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної, тоді як насправді тут краще підійшла б квадратична, кубічна чи якась полі-номіальна залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці специфікації, тобто оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вхідними даними спо­стережень.

Адекватність побудованої моделі можна встановити, аналізуючи залишки моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної змінної та обчисленими за моделлю. Щоб пере­вірити, чи має розподіл залишків невипадковий характер, можна скористатися критерієм Дарбіна—Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму економетричної моделі.

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд:

Y = ХА + и, (1)

де Y — вектор значень залежної змінної; X — матриця незалеж­них змінних розміром п на т (п — число спостережень, т — кількість незалежних змінних); А — вектор параметрів моделі; и — вектор залишків.

Застосовуємо 1МНК для оцінки параметрів моделі, якщо вико­нуються такі умови:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

М(u) = 0; (2)

2) значення щ вектора залишків и незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

M(uu') = Е, (3)

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками:

М(х'u) = 0; (4)

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систе­
му векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто |Х' Х| ≠0. Це означає, що матриця X має повний ранг.

Перша умова є очевидною. Адже коли математич­не сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфіка­ції не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця переду­мова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може ви­конуватись лише тоді, коли залишки и є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не врахо­вані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У та­кому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів.

Третя умова передбачає незалежність між залишками і поясню­вальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли еконо-метрична модель будується на базі одночасових структурних рів­нянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий методи наймен­ших квадратів.

Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які вхо­дять до економетричної моделі, мають бути незалежними між со­бою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов'язані між собою. Тоді щоразу необхідно з'ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку парамет­рів моделі.

Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призво­дить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей за допо­могою 1МНК.

Оцінимо методом 1МНК параметри моделі (1), для якої вико­нуються умови (2)—(5).

Рівняння (1) подамо у вигляді: и = Y-XA. Тоді суму квадратів залишків и можна записати так:

. (5)

Продиференціюємо цю умову за А і прирівняємо похідні до нуля:

.

Або

X' ХА =Х'Y, (6)

де X' — матриця, транспонована до матриці незалежних змін­них X.

Звідси

А = (Х'Х)^-1Х'Y. (7)

Рівняння (6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а формула (7) показує, що вектор А є розв'язком системи таких рівнянь.

Формули (6) і (7) можна одержати й інакше.

Так, помноживши рівняння (1) зліва спочатку на X ', а потім на матрицю (X' X)^-1, одержимо:

.

Оскільки (X' X) ^-1 X' X = Е, то справджується рівність:

Згідно з (4), коли п — > ∞, М (X' u) = 0, отже, .Неважко показати, що оцінки , обчислені за (7), мінімізують суму квадратів залишків и.

При цьому значення вектора є розв'язком так званої системи нормальних рівнянь (Х'Х) =Х'Y. Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від свого середнього, то матрицю X' X називають матри­цею моментів.

У цьому випадку числа, що розміщені на її головній діагоналі, характеризують величину дисперсій незалежних змінних, інші еле­менти відповідають взаємним коваріаціям.

Отже, структура матриці моментів відображає зв'язки між незалеж­ними змінними. Чим ближчі показники коваріацій до величини дис­персій, тим ближчий визначник матриці X' X до нуля і тим гірші оцінки параметрів . Далі буде показано, що стандартні помилки параметрів прямо пропорційні до значень, розміщених на голов­ній діагоналі матриці (X' X)^-1.

Розглянемо приклад оцінювання параметрів моделі 1МНК.

Приклад 1. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування, загальними витратами та розміром сім'ї. Вихідні дані в умовних одиницях наведені в табл. 1.

1. Вихідні дані

Розв'язання

Запишемо економетричну модель:

де — відповідно фактичні та розрахункові значення тижневих витрат на харчування за моделлю; x₁ — загальні витрати; x₂ — розмір сім'ї; и — залишки; — оцінка параметрів моделі.

Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд:

А = (Х'Х)^-1Х'У,

де

X' — матриця, транспонована до матриці X.

Матриця X, крім двох векторів незалежних змінних, містить век­тор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. Не дописуючи такого ве­ктора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рів­ністю:

, де — середнє значення залежної змінної; , — середні значення незалежних змінних х₁, і х₂.

Згідно з оператором оцінювання знайдемо:

1)(Х'Х) = 16 416,2 74,5

16,2 1601562 23271,2

74,5 23271,2 436,69

2) 0,314 - 0,00017 -0,0446

-0,00017 0,00003 -0,00012

-0,0446 -0,00012 0,0165

Отже, економетрична модель має вигляд: .

Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:

; ; , тобто

Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна х₁, (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,2004 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна х₂ (розмір сім'ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залеж­на змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 6,9306 одиниць.

У класичній регресійній моделі У = ХА + u; вектор и = (u₁, u₂,...,u_n) і залежний від нього вектор У = (у₁, у₂,_…, y_n)' є випадковими змінни­ми. До оператора оцінювання входить вектор У = ( = (Х ^’Х)^-1 Х'У), а, отже, оператор також можна вважати випадковою функцією оці­нювання параметрів моделі.

Відомо, що для характеристики випадкових змінних , поряд з математичним сподіванням, застосовуються також дисперсія і коваріація . Істинні (справжні) значення цих параметрів класичної економетричної моделі утворюють дисперсійно-коваріа-ційну матрицю:

Оцінки коваріаційної матриці

використовую­ться для знаходження стандартних помилок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів . Вони використовуються й при пере­вірці їх статистичної значущості.

На головній діагоналі матриці містяться оцінки диспер­сій j- оі оцінки параметрів, що ж до елементів , які розміщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коваріації між і .

Отже,

де – оцінка дисперсії залишків;

.

Оскільки вектор залишків , то добуток векторів можна записати так:

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

.

Позначимо (j, k)-й елемент матриці (X' X)^-1 символом с_jk, тоді j-й елемент по головній діагоналі матриці обчислюється за формулою:

. (8)

Коваріації , що містяться за межами головної діагоналі, від­повідно такі:

. (9)

Приклад2. Для економетричної моделі обчис­лимо коваріаційну матрицю . Отже, маємо:

;

n=16, m= 3

Розв 'язання

1. Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків :

.

Визначимо дисперсії оцінок :

3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій указує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення в се­редньому іншої і навпаки.

Отже, одержимо дисперсійно-коваріаційну матрицю

(10)

4. Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

Порівняємо кожну стандартну помилку з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення (11):

Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно 41 %, 18 % і 12 %, а це свідчить про зміщеність оцінок.

Використаємо модель (1) для знаходження прогнозних значень вектора У_о, який відповідатиме очікуваним значенням матриці незале­жних змінних Х₀.. Наш прогноз може бути точковим або інтервальним. Інтервальний прогноз побудуємо на основі точкового, скориставшись побудованою економетричною моделлю.

Щоб отримати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати се­редню похибку прогнозу.

Вона зростає з віддаленням значення від відповідного серед­нього значення вибірки.

Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу.

У матричному вигляді дисперсія прогнозу

; (12)

(13)

Довірчий інтервал для прогнозних значень

(14)

де — критичне значення t-критерію при п - т ступенях вільності і рівні значущості α.

Зауважимо, що можна розглядати як точкову оцінку математичного сподівання прогнозного значення , а також як ін­дивідуальне значення для вектора незалежних змінних Х_о, що лежить за межами базового періоду.

Для визначення інтервального прогнозу індивідуального значен­ня необхідно знайти відповідну стандартну похибку :

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначає­ться як

(15)

. Необхідно розрахувати для економетричної моделі точковий та інтервальний прогнози індивідуального значення залежної змінної, коли для прогнозного періоду відомий вектор

.

1. Визначаємо точкові прогнозні значення залежної змінної,

: то .

Визначаємо дисперсію прогнозу за формулою:

Стандартна помилка прогнозу:

Табличне значення критерію Стьюдента при рівні значущості α= 0,05 і ступенів вільності п - т = 13 дорівнює t_0,05 = 2,160.

Обчислюємо дисперсію і стандартну помилку прогнозу інди­відуального значення у₀:

.

Стандартна помилка прогнозу індивідуального значення у₀ така:

.

Визначаємо інтервальний прогноз індивідуального значення у₀:

.

150,894 - 2,160 ▪ 18,5698 ≤ у₀ ≤ 150,894 + 2,160 ▪ 18,5698;

150,894 - 40,111 ≤ у₀ ≤ 150,894 + 40,111;

110,783 ≤ у₀ ≤ 191,005.

Отже, з імовірністю р = 0,95 (α = 0,05) прогноз індивідуального значення у₀ потрапляє в інтервал [110,783; 191,005].

Можна також зазначити, що з імовірністю p = 0,95 знайдені прогно­зи покривають М(у₀) і у_{0 ,}коли взяти досить велику кількість вибірок і для кожної з них обчислювати інтервальні прогнози.

Економічна інтерпретація: якщо в прогнозному періоді загальні витрати мають рівень 500 одиниць, а сім'я складається з шести осіб, то витрати на харчування потрапляють в інтервал:

110,783 ≤ у₀ ≤ 191,005.

Поиск по сайту: