Критерій фон Неймана

Автокореляція — це взаємозв'язок послідовних елементів часового чи просторового ряду даних.

В економетричних моделях особливе значення має автокореляція залишків.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо іс­нує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься і кореляція послідовних значень за­лишків.

Автокореляція може бути також наслідком помилкової специфі­кації економетричної моделі. Крім того, наявність автокореляції за­лишків може означати, що необхідно ввести до моделі нову незале­жну змінну.

У загальному випадку ми вводимо до моделі лише деякі з істот­них змінних, а вплив змінних, які виключені з моделі, має позначи­тися на зміні залишків. Існування кореляції між послідовними зна­ченнями виключеної з розгляду змінної не обов'язково має тягти за собою відповідну кореляцію залишків, бо вплив різних змінних мо­же взаємно погашатися. Якщо кореляція послідовних значень ви­ключених з моделі змінних спостерігається, то загроза виникнення автокореляції залишків стає реальністю.

Проілюструємо проблему автокореляції залишків на прикладі економетричної моделі з двома змінними. Нехай

, (1)

де ми припускаємо, що залишки u, задовольняють схему авторегресії першого порядку, тобто залежать тільки від залишків попере­днього періоду.

Специфікація моделі (1) має індекс t, що свідчить про її динамічний характер, тобто t — період часу, для якого будується така модель на основі динамічних (часових) рядів вихідних даних.

Якщо знехтувати автокореляцією залишків і оцінити параметри моделі 1МНК, то матимемо такі три наслідки.

1. Оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але не­ефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок А можуть бути невиправдано великими.

2.Оскільки вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами, то статистичні критерії t - і F-статистики, які знайдено для лінійної моделі, практично не можуть бути використані в дис­персійному аналізі.

3.Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі при­зводить, як правило, до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з дуже великою вибірковою дисперсією.

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше за­стосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

(2)

Він може приймати значення з проміжку [0, 4]: DW є [0, 4].

Якщо залишки u_t є випадковими величинами, нормально роз­поділеними, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При додатній автокореляції DW<2, при від'ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень п і числі незалеж­них змінних т для вибраного рівня значущості а. Табличні зна­чення мають нижню межу DW₁ і верхню — DW₂.

Коли DWфакт < DW₁, то залишки мають автокореляцію. Якщо DWфакт > DW₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокоре­ляції. Коли DW₁ <DW< DW₂, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі проводити дослідження, беручи більшу суку­пність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Наведені співвідношення показують, що іс­нують області, в яких застосування критерію Дарбіна - Уотсона не може дати певних результатів, про що вже зазначалося. Верхні та нижні межі критерію DW визначають межі цієї області для різних розмірів вибірки, заданого числа пояснювальних змінних та певного рівня значущості.

Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана:

(3)

Звідси при . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня зна­чущості і заданого числа спостережень. Якщо , то існує до­датна автокореляція.

Приклад. За допомогою двох взаємопов'язаних часових рядів про роздрібний товарообіг та доходи населення побудувати економетричну модель, що характеризує залежність роздрібного товаро­обігу від доходу. Вихідні дані наведено в табл. 1.

1. Вихідні дані

Розв'язання

1. Ідентифікуємо змінні моделі:

— роздрібний товарообіг у період t, залежна змінна;

— дохід у період t, пояснювальна змінна;

звідси

де − стохастична складова, залишки.

2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:

де и — скаляр; у — вектор; х — матриця.

3. Визначимо оцінки параметрів моделі , за методом наймен­ших квадратів, припускаючи що залишки некорельовані:

де X' — матриця, транспонована до X.

Економетрична модель має вигляд:

.

4. Знайдемо розрахункові значення роздрібного товарообігу на основі моделі і визначимо залишки и, (табл. 2).

Знайдемо оцінку критерію Дарбіна — Уотсона:

.

Порівняємо значення критерію DW з табличним для α = 0,05 і п= 10. Критичні значення критерію DW у цьому разі такі:

D W₁| = 0,879 — нижня межа; DW₂ = 1,320 — верхня межа.

Оскільки критерій DW_факт < DW₁, то можна стверджувати, що за­лишки uмають додатну автокореляцію.

Наявність чи відсутність автокореляції залишків можна також визначити згідно з критерієм фон Неймана.

2.Розрахункові значення для знаходження критерію Дарбіна - Уотсона

Рік
	24,0	23,612	0,388	0,150	-	-	-
	25,0	24,564	0,436	0,190	0,049	0,0024	0,1691
	25,7	25,515	0,485	0,034	-0,252	0,0632	0,0806
	27,0	27,245	-0,245	0,060	-0,430	0,1848	-0,045
	28,8	29,581	-0,779	0,609	-0,535	0,2866	0,1913
	30,8	31,310	-0,510	0,261	0,270	0,0729	0,3984
	33,8	33,646	0,154	0,023	0,665	0,4417	-0,0787
	38,1	37,971	0,129	0,017	-0,025	0,0006	0,0199
	43,4	43,420	-0,020	0,0002	-0,149	0,0222	-0,003
	45,5	45,236	0,264	0,070	0,284	0,0804	-0,0005
Σ	322,1			1,4152		1,1550	0,7276

Критерій фон Неймана . Це значення порівню­ється з табличним; Q_табл =1,18 при п = 10 і рівні значущості α = 0,05. Оскільки Q_факт < Q_табл, то існує додатна автокореляція залишків.

Поиск по сайту: