Критерій Дарбіна — Уотсона

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

Він може набувати значеннь з проміжку [0, 4]: .

Якщо залишки є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При до­датній автокореляції DW < 2, при від’ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень n і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості a. Табличні значення мають нижню межу DW ₁ і верхню — DW ₂.

Коли DW факт < DW ₁, то залишки мають автокореляцію. Якщо Dw факт > DW ₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW ₁ <DW< DW ₂, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, беручи більшу сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Вибірковий розподіл значень критерію Дарбіна — Уотсона залежить від емпіричних спостережень пояснювальних змінних і навіть якщо взяти до уваги цю обставину, можна стверджувати: параметр r для генеральної сукупності має тісний зв’язок з критерієм DW. Якщо r = 1, то значення DW = 0, при r = 0 DW = 2 і при r = –1 значення критерію DW = 4. Наведені співвідношення показують, що існують області, в яких застосування критерію Дарбіна — Уотсона не може дати певних результатів, про що вже було сказано. Верхні та нижні межі критерію DW визначають межі цієї області для різних розмірів вибірки, заданого числа пояснювальних змінних та певного рівня значущості.

Приклад. Нехай обсяг вибірки складається з 20 спостережень. На основі цієї вибірки побудовано модель, яка включає три пояснювальні змінні. Наведено табличні значення критерію Дарбіна — Уотсона DW ₁ і DW ₂ для 1 %- і 5 %-го рівня значущості:

DW ₁ DW ₂

a₁ = 1 % 0,77 1,41

a₂ = 5 % 1,00 1,68

Для додатної автокореляції залишків ці значення є межами п’яти інтервалів, на основі яких можна прийти до таких висновків:

1) 0 £ DW £ 0,77— нульова гіпотеза відхиляється як при 1 %-му, так і на 5%-му рівнях значущості;

2) 0,77 £ DW £ 1,00 — нульова гіпотеза відхиляється при 5 %-му рівні зна­чущості; для 1 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

3) 1,00 £ DW £ 1,41 — критерій не дає певних результатів як при одному, так і при іншому рівні значущості;

4) 1,41 £ DW £ 1,68 — нульова гіпотеза не відхиляється при 1 %-му рівні значущості, для 5 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

5) 1,68 £ DW £ 2,00 — нульова гіпотеза не відхиляється при обох рівнях значущості.

Дж. Джонстон [3]наводить ряд спостережень, які свідчать про те, що верхня межа DW ₂ ближча до істинної межі прийняття гіпотези, яка перевіряється. тому якщо виникають сумніви, можна обмежитись одним показни­ком — DW ₂. Це означає, що сам критерій також може мати зміщення, він указує на наявність серійної кореляції першого порядку і там, де її не повинно бути. Дж. Джонстон зауважує, що оскільки наслідок некоректного прийняття нульової гіпотези може бути набагато серйознішим, ніж наслідок її некоректного відхилення, тому в сумнівних випадках нульову гіпотезу, як правило, краще відхилити. Якщо оцінка критерію DW перевищує 2, то при перевірці нульової гіпотези можна як альтернативну використовувати гіпотезу про існування від’ємної автокореляції першого порядку; у такому разі необхідно відняти відповідні значення від 4 і скористатись тими самими табличними значеннями DW.

Поиск по сайту: