|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ТА ОЗНАЧЕННЯДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну, або, якщо його розв’язати відносно похідної
Розв’язком диференціального рівняння (1.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (1.1) перетворює його в тотожність по на . Приклади. 1. – диференціальне рівняння першого порядку. Його розв’язком є функція Дійсно, , тоді – одержали тотожність. 2. , розв’язком диференціального рівняння є функція . Дійсно, , тоді – одержали тотожність. Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння (1.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови: 1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини; 2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову: . Частинним розв’язком рівняння (1.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої . Задача, в якій необхідно знайти частинний розв’язок рівняння (1.1), який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші. Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1.1). Рівність називають частинним інтегралом рівняння. Приклади. 1. Перевірити, що функція являється загальним розв’язком диференціального рівняння Знаходимо Підставляємо в рівняння:
Або після перетворень одержимо тотожність
2. Знаючи, що функція – загальний розв’язок рівняння , знайти частинний розв’язок, який задовольняє початковим умовам при . Легко переконатись у тому, що функція дійсно являється загальним розв’язком заданого рівняння, так як
Задовольняючи початковим умовам, знаходимо:
Отже, частинний розв’язок має вигляд:
З геометричної точки зору загальний інтеграл визначає на координатній площині сім’ю кривих, залежну від довільної сталої. Частинному розв’язку відповідає одна крива цієї сім’ї, що проходить через задану точку. В кожній точці така крива, яка називається інтегральною кривою, буде мати дотичну з кутовим коефіцієнтом . Сукупність трійок утворює так зване поле напрямків. Геометричне місце точок з однаковим напрямом поля називають ізоклінами. Для задачі Коші і є теорема про існування та єдиність розв’язку. Якщо функція неперервна в області D разом зі своєю частинною похідною , тоді для будь-якої точки (х0,у0), яка належить області D, задача Коші має і причому єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки х0. Приклади. 1. Знайти область існування та єдиності розв’язків диференціального рівняння
.
Оскільки права частина заданого рівняння та частинна похідна є неперервними функціями в усій дійсній площині, то рівняння має єдиний розв’язок для будь-якої точки (х0,у0). 2. Знайти область існування та єдиності розв’язків рівняння
.
Права частина заданого рівняння визначена і неперервна при . Оскільки частинна похідна не є неперервною при у=0, то в точках прямої у=0 умови теореми не виконуються, тобто рівняння має більше одного розв’язку.
2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ З ВІДОКРЕМЛЮВАНИМИ ЗМІННИМИ
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |