АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

РІВНЯННЯ В ПОВНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛАХ

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  11. Диференціальні рівняння першого порядку з
  12. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

Рівняння виду

 

, (4.5)

 

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції , тобто

 

 

 

Загальний інтеграл рівняння (4.5) має вигляд

 

 

Для того щоб рівняння (4.5) було рівнянням у повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб

 

 

Функцію знаходять за формулою

 

  (4.6)

 

При цьому в формулі (4.6) нижні границі інтегралів ( і ) довільні; їх вибір обмежений єдиною умовою – інтеграли в правій частині цієї формули повинні мати сенс (тобто не бути розбіжними невласними інтегралами другого роду). Якщо умова не виконується, то існує така функція , що Функція називається інтегрувальним множником і задовольняє умові

 

 

Приклади. Знайти загальний інтеграл рівняння.

1.

Тут

 

 

Отже, ліва частина рівняння являється повним диференціалом деякої функції , тобто

 

 

Проінтегруємо по :

 

 

Знайдемо функцію , продиференціювавши останній вираз по :

 

 

Одержуємо рівняння

 

 

звідки знаходимо

 

Таким чином, загальний інтеграл рівняння має вигляд:

 

 

2.

Тут

 

 

Таким чином, умова повного диференціала виконана, тобто дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах.

Знайдемо загальний інтеграл за формулою

 

 

Прийнявши , одержимо

 

 

або

 

 

Підставляючи границі маємо

 

 

або

 

де

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)