|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ В СВЯЗИ С ПРОБЛЕМОЙ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848—1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью в первой своей работе по математической логике «Исчисление понятий» («BegnfTsschrift») он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в «Основаниях арифметики» («Grundlagen der Arithmetik»), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие «вершина треугольника» равночисленно понятию «сторона треугольника», и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом понятия «вершина треугольника». Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, т. е. произвел некоторую математизацию логики22. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки и поэтому мало кто полностью прочитал его «Основные законы арифметики». Сам Фреге особенно и не рассчитывал на то, что его произведение найдет читателей. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. В этом произведении Фреге писал: «В моих «Основаниях арифметики» (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об «Основных законах арифметики». — Л. Г.)это должно быть подтверждено тем, что простейшие законы арифметики здесь выводятся только с помощью логических средств». Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел. В послесловии к «Основным законам арифметики» Фреге писал по этому поводу: «Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся (опровергнутой: erschuttert). В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу»2. Противоречием, которое обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 193 -194). Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил основное понятие математики: понятие числа. Вслед за Г. Фреге очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бертран Рассел (1872—1970). Он также автор ряда работ из области истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, социологии и др. Труды Рассела в области математической логики оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А. Уайтхедом25 Рассел разработал оригинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде «Principia Mathematica»26. Выдвигая идею о сведении математики к логике, Рассел считает, что если гипотеза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в которой мы никогда не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, верно ли то, что мы говорим. Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика, по его мнению, есть совокупность формальных выводов, независимых от какого бы то ни было содержания, т. е. это класс высказываний, которые выражены исключительно в терминах переменных и только логических констант. Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но и делает из этого утверждения вывод о существовании априорного знания, считает, что «математическое познание нуждается в посылках, которые не базировались бы на данных чувства»27. Отсюда видно, что Рассел разрывает две взаимосвязанные ступени познания — чувственную и рациональную. Он отбрасывает в математике первую ступень познания и переходит сразу к абстрактному мышлению, а это и есть априоризм, стремление показать, что математические истины — истины разума, никак не связанные с опытом, с чувственным восприятием мира. От чистой математики Рассел отличает прикладную математику, которая состоит в применении формальных выводов к материальным данным. Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике, Рассел берет систему аксиом арифметики, сформулированную Пеано, и пытается их логически доказать, а три неопределяемых у Пеано понятия: «нуль», «число», «следующее за» — определить в терминах своей логической системы. Все натуральные числа Рассел также считает возможным выразить в терминах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. А так как, по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике, то и математика может быть сведена к логике. Рассел пишет: «Логика стала математической, математика логической. Вследствие этого сегодня совершенно невозможно провести границу между ними. В сущности это одно и то же. Они различаются как мальчик и мужчина; логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики»28. Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую — математика. Но в действительности математика несводима к логике. Предметы изучения этих наук различны. Нами ранее были указаны характерные черты, присущие логике как науке (см. с. 114). У математики другие задачи и функции. В большом трехтомном труде «Principia Malhematica» есть две стороны. Первая — заставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой стороной Principia Mathematica, получило в дальнейшем такое развитие в математической логике, которое сделало эту новую область науки особенно важной для решения не только труднейших задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной математики и техники. Другая сторона этого произведения — точнее, даже не самого этого произведения, а философских «обобщений», делаемых логицистами со ссылкой на него, — принадлежит уже к области попыток использовать его для «доказательства» положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона и относится к области неправильных выводов. Именно ее и опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружило, что эта попытка Рассела не удалась. И это не случайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систему. Дело в том, что и нельзя построить формальную «логическую систему» с точно перечисленными и эффективно выполнимыми правилами вывода, в которой можно было бы формализовать всю содержательную арифметику. Это обстоятельство представляет собой содержание известной теоремы австрийского математика и логика К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики, из которой следует непосредственно, что определение математических понятий в терминах «логики» хотя и обнаруживает некоторые связи этих понятий с логикой, но не лишает их тем не менее специфически математического содержания. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии содержательной научной теории, систематизации которой данная формализованная система должна служить. Однако Г. Фреге и Б. Рассел пришли в логическом анализе к ряду интересных результатов, относящихся к понятиям «предмет», «имя», «значение», «смысл», «функция», «отношение» и др. Особо следует подчеркнуть важность разработанной Расселом теории типов (простой и разветвленной), цель которой состоит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории типов Рассела состоит в том, что она является конструктивной теорией.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |