Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1. Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если
Полагая , получаем .
Определение 2. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если есть однородная функция нулевого измерения.
Из сказанного выше следует, что однородное уравнение можно записать в виде .
Всякое однородное уравнение подстановкой приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
Если есть корень уравнения то решением уравнения будет , а исходного - . Решения, отличные от , где есть корень уравнения получаются разделением переменных в уравнении .
Определение 3. Мы будем говорить, что есть однородная функция измерения , если .
Если дифференциальное уравнение записать в виде где и - однородные функции одного измерения, то оно приводится к однородному дифференциальному уравнению
.
Дифференциальное уравнение
приводится к однородному в том случае, когда . Действительно, пусть и удовлетворяют системе уравнений
.
Положим . Тогда
, а уравнение однородное.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение
Решение. Положим Тогда , и тем самым
или
(1)
Для данного уравнения поэтому разделив правую и левую части уравнения (1) на , мы получим уравнение или
. (2)
Интегрируя (2), получаем , откуда
Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения
(3)
удовлетворяющее начальному условию
Решение. Мы ищем решение в окрестности точки поэтому можем считать
Запишем уравнение (3) в виде
. ()
Применим подстановку . Получаем или . Следовательно,
Подставляя в последнее равенство , получаем , откуда . Таким образом, . 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Поиск по сайту:
|