АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. VI Дифференциальные уравнения
  2. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  3. Алгебраические уравнения
  4. Апериодическое звено второго порядка.
  5. Внутренняя энергия идеального газа. Работа газа при изобарном расширении. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам. Понятие о втором начале термодинамики.
  6. Волновое уравнение и его решение. Физический смысл волнового уравнения. Скорость распространения волн в различных средах.
  7. Вопрос 24 поверхности второго порядка (эллипсоид, цилиндры, конус) и их канонически уравнения. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.
  8. Вопрос: Основные пути укрепления законности и правопорядка.
  9. Вопрос: Понятие правопорядка. Правопорядок и общественный порядок
  10. Восприятие партнера по общению и возникновение первого впечатления о нем
  11. Выпуск первого гидроцикла марки Sea-Doo
  12. Геометрическая оптика.отражение и преломление света. законы отражения и преломления.Зеркала и линзы.Уравнения для зеркал и линз.оптические приборы.

Определение 1. Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если

Полагая , получаем .

Определение 2. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если есть однородная функция нулевого измерения.

Из сказанного выше следует, что однородное уравнение можно записать в виде .

Всякое однородное уравнение подстановкой приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Если есть корень уравнения то решением уравнения будет , а исходного - . Решения, отличные от , где есть корень уравнения получаются разделением переменных в уравнении .

Определение 3. Мы будем говорить, что есть однородная функция измерения , если .

Если дифференциальное уравнение записать в виде где и - однородные функции одного измерения, то оно приводится к однородному дифференциальному уравнению

.

Дифференциальное уравнение

приводится к однородному в том случае, когда . Действительно, пусть и удовлетворяют системе уравнений

.

Положим . Тогда

, а уравнение однородное.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

Решение. Положим Тогда , и тем самым

или

(1)

Для данного уравнения поэтому разделив правую и левую части уравнения (1) на , мы получим уравнение или

. (2)

Интегрируя (2), получаем , откуда

Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения

(3)

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Мы ищем решение в окрестности точки поэтому можем считать

Запишем уравнение (3) в виде

 

. ()

Применим подстановку . Получаем или . Следовательно,

Подставляя в последнее равенство , получаем , откуда . Таким образом, .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)