АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные однородные уравнения n-го порядка

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. VI Дифференциальные уравнения
  3. Абстрактные линейные системы
  4. Алгебраические уравнения
  5. Апериодическое звено второго порядка.
  6. Б) линейные.
  7. Виды связей в организации: вертикальные и горизонтальные, линейные и функциональные, прямые и косвенные, формальные и неформальные.
  8. Волновое уравнение и его решение. Физический смысл волнового уравнения. Скорость распространения волн в различных средах.
  9. Вопрос 24 поверхности второго порядка (эллипсоид, цилиндры, конус) и их канонически уравнения. Исследование формы поверхности методом параллельных сечений.
  10. Вопрос: Основные пути укрепления законности и правопорядка.
  11. Вопрос: Понятие правопорядка. Правопорядок и общественный порядок
  12. Геометрическая оптика.отражение и преломление света. законы отражения и преломления.Зеркала и линзы.Уравнения для зеркал и линз.оптические приборы.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид

. (1) Если , то путем деления на оно может быть приведено к виду

. (1')

Если правая часть (1) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ), в противном случае – неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ).

Если все и непрерывны на интервале и , то для уравнения (1'), эквивалентного (1), выполнены все условия теоремы существования и единственности. Поэтому в окрестности любой точки , при любых существует решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям.

. (2)

На самом деле можно показать, что решение существует не только в окрестности точки x0, а на всем интервале .

Положим . Тогда уравнение (1') можно записать в виде . Очевидно , . Поэтому имеет место следующая

Теорема 1. Пусть – решения ОЛДУ (1'), –

произвольные постоянные. Тогда

(3)

так же есть решение ОЛДУ (1').

Вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять частные решения уравнения (1'), чтобы формула (3) давала общее решение уравнения (1'), решается в связи с понятием линейной зависимости функций.

Определение 1. Функции , заданные на интервале (), называются линейно независимыми на интервале , если .

В противном случае функции называются линейно зависимыми.

Пример 1. есть линейно независимая система функций на любом интервале .

Пусть мы имеем функций , имеющих на интервале непрерывные производные до порядка включительно. Определитель

 

называется определителем Вронского (вронскианом) этих функций.

Теорема 2. Если функции линейно зависимы на , то .

Теорема 3. Если решения уравнения (1') линейно независимы на , то .

Определение 4. Любая система из линейно независимых частных решений ОЛДУ (1') называется фундаментальной системой.

Теорема 4. Любое ОЛДУ - го порядка имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство. Мы говорили выше, что задача Коши для (1') имеет решение при любом выборе начальных условий. Зафиксируем точку и рассмотрим решения задачи (1'), удовлетворяющие следующим начальным данным:

Пусть – определитель Вронского системы функций . Тогда

,

и, тем самым, по Теореме 2 функции линейно независимы.

Теорема 5 (О структуре общего решения ОЛДУ). Е сли образуют фундаментальную систему решений уравнения (1'), то его общее решение задается формулой

(4)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)